直线的斜率与直线方程

直线的斜率与直线方程内容摘要：

第一象限，从图中可以看出直线 l的 斜率的取值范围为 y k x 3 0 3 .（ ， ）3k.3＞【 拓展提升 】 k与倾斜角 α 之间的关系 α 0176。 0176。 ＜ α ＜ 90176。 90176。 90176。 ＜ α ＜ 180176。 k 0 k＞ 0 不存在 k＜ 0 （ 1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 . （ 2）构建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜率 k满足的不等关系，构造不等式求解 . （ 1）求：求出斜率 k=tan α 的取值范围 . （ 2）看：借助正切函数图像数形结合得到倾斜角的取值范围 . 【 变式备选 】 已知实数 x,y满足 2x+y=8,当 2≤x≤3 时 , 求 的取值范围 . y1x1【 解析 】 由 的几何意义知 ,它表示点 A(1,1)与线段 CD上 任一点 P(x,y)连线的斜率 ,如图 . ∵ 线段的端点为 C(2,4),D(3,2), ∴ 的取值范围是 y1x1A C A DA D A P A C4 1 2 1 3k 5 , k ,2 1 3 1 23 y 1k k k , 5.2 x 1        即y1x13,5 .2［ ］考向 2 直线的方程 【 典例 2】 （ 1）若直线 l：（ a+1） x+y+2a=0(a∈R) 在两坐标轴上截距相等，则 a的值为 ____. （ 2）已知直线 l过点 P（ 3,2） ,且与 x轴、 y轴的正半轴分别交于 A,B两点 ,如图所示 ,求△ ABO的面积的最小值及此时直线 l的方程 . 【 思路点拨 】 （ 1）要分截距均为 0，均不为 0两种情况讨论 . （ 2）先设出 AB所在的直线方程，再求 A， B两点的坐标或得到系数满足的关系，将△ ABO的面积用引入系数表示，最后利用相关的数学知识求出最值 . 【 规范解答 】 （ 1）当直线过原点时，该直线在 x轴和 y轴上的 截距均为 0， ∴ a=2； 当直线不过原点时， 由截距相等且均不为 0， 得 即 a+1=1， ∴ a=0. 综上可知， a=0或 a=2. 答案： 0或 2 a2 a 2 ,a1 (2)方法一：由题可设直线 l的方程为 (a＞ 0,b＞ 0), 则 A（ a,0） ,B(0,b). ∵ l过点 P（ 3,2） , 且 a3,b2. 从而 xy 1ab32 1,ab  2aba3  ，2A B O1 1 2a aS a b a .2 2 a 3 a 3      2A B Oa 3 6 a 3 9Sa399a 3 6 2 ( a 3 ) 6a 3 a 312 ,         故 有当且仅当 即 a=6时 ,(S△ ABO)min=12, 此时 ∴ 此时直线 l的方程为 即 2x+3y12=0. 方法二：依题意知 ,直线 l的斜率存在 . 设直线 l的方程为 y2=k(x3)(k＜ 0), 则有 A（ 0） ,B(0,23k), 9a 3 ,a3 26b 4 ,63xy 1,6423,k当且仅当 即 时 ,等号成立， S△ ABO取最小值 12. 此时，直线 l的方程为 2x+3y12=0.      A B O12S 2 3k (3 )2k14[ 12 9k ]2k1 4 1[ 12 2 ( 9k ) ] 12 12 12 ,2 k 2           49k ,k2k3方法三：由题可设直线方程为 (a＞ 0,b＞ 0), 代入 P（ 3,2） ,得 得 ab≥24, 从而 S△ ABO= ab≥12, 当且仅当 时 ,等号成立 ,S△ ABO取最小值 12，。