函数奇偶性的概念

函数奇偶性的概念内容摘要：

函数． (4) f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2的定义域是 { － 1,1 } ，关于原点对称， 在定义域内化简 f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2＝ 0 ， 所以 f ( － 1) ＝ f (1) ＝ 0 ，且 f ( － 1) ＝－ f (1 ) ＝ 0 ， f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2既是奇函数又是偶函数． [题后感悟 ] (1)利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点： ① 必须首先判断 f(x)的定义域是否关于原点对称； ② 有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误．如本例 (4)中，若不化简可能会判断为偶函数．注意下面变式训练中的第 (4)小题． ③ 若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可． (2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： ① 定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断 f(－ x)是否等于 177。 f(x)，或判断f(－ x)177。 f(x)是否等于 0，从而确定奇偶性． ② 图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y轴对称，则函数为偶函数． 另外，还有如下性质可判定函数奇偶性： 偶函数的和、差、积、商 (分母不为零 )仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇 (偶 )数个奇函数的积、商 (分母不为零 )为奇 (偶 )函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． (注：利用以上结论时要注意各函数的定义域 ) 1. 判断下列函数的奇偶性： (1) f ( x ) ＝ x3＋ x5； (2) f ( x ) ＝2 x2＋ 2 xx ＋ 1； (3) f ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ | x － 1| ； (4) f ( x ) ＝1 － x2|3 － x |－ 3. 解析： (1)函数定义域为 R. f(－ x)＝ (－ x)3＋ (－ x)5＝－ (x3＋ x5)＝－ f(x)． ∴ f(x)是奇函数． (2)函数的定义域为 {x|x≠－ 1}．不关于原点对称， ∴ 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)f(x)的定义域是 R， 又 f(－ x)＝ |－ x＋ 1|＋ |－ x－ 1|＝ |x－ 1|＋ |x＋ 1|＝ f(x)， ∴ f(x)是偶函数． (4) 函数 f ( x ) 的定义域为 [ － 1,0) ∪ (0,1] ，关于原点对称， ∵ f ( x ) ＝1 － x23 － x － 3。