三角函数的单调性与值域

三角函数的单调性与值域内容摘要：

4π3， 4 k π ＋2π3 ( k ∈ Z ) ． 题型二 求值域、最值 【例 2 】 求下列函数的值域． ( 1) y ＝ | s i n x |＋ s i n x ； ( 2) y ＝ 2 s in2 x ＋π3， x ∈－π6，π6. [ 思路探索 ] ( 1) 先去掉题中的绝对值符号，再利用正弦函数的值域求解； ( 2) 注意自变量的取值范围． 解 ( 1) ∵ y ＝ | s i n x |＋ s i n x ＝ 2s i n x  s i n x ≥ 0  ，0  s i n x 0  . 又 ∵ － 1 ≤ s in x ≤ 1 ， ∴ y ∈ [ 0,2] ，即函数的值域为 [ 0,2] ． ( 2) ∵ －π6≤ x ≤π6， ∴ 0 ≤ 2π ＋π3≤2π3. ∴ 0 ≤ s i n2 x ＋π3≤ 1. ∴ 0 ≤ 2 s in2 x ＋π3≤ 2 ，即 0 ≤ y ≤ 2. 故函数的值域为 [ 0,2] ． 规律方 法 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而这些方法也适用于三角函数，但要结合三角函数本身的性质 ( 有界性 ) ． 【变式 2 】 ( 1) 设 s i n x ＝ 5 t － 1 ，求实数 t 的取值范围； ( 2) 求 y ＝ a s i n x ＋ b ( a ， b ∈ R ， a ≠ 0) 的最值； ( 3) 求 y ＝ c os2x － s i n x ， x ∈－π4，π4的值域； ( 4) 求 y ＝3s i n x ＋ 1s i n x ＋ 2的最值． 解 ( 1) 由－ 1 ≤ 5 t － 1 ≤ 1 ，得 0 ≤ t ≤25. ∴ t 的取值范围是0 ，25. ( 2) 若 a 0 ，则 s i n x ＝ 1 时， ym a x＝ a ＋ b ； s i n x ＝－ 1 时， ym i n＝b － a . 若 a 0 ，则 s in x ＝－ 1 时， ym a x＝ b － a ； s i n x ＝ 1 时， ym i n＝ a ＋ b . ( 3) y ＝－ s i n2x － s i n x ＋ 1 ，令 t ＝ s i n x . ∵ x ∈－π4，π4， ∴ t ∈－22，22. 原函数可化为 y ＝－ t2－ t ＋ 1 ＝－t ＋122＋54. ∴ 当 t ＝－12时，有 ym a x＝54；当 t ＝22时， 有 ym i n＝1 － 22. 故原函数值域为。