一元二次不等式解法

一元二次不等式解法内容摘要：

2 ∴不等式进一步转化为同解不等式 x2＋ 2x－ 3＜ 0， 即 (x＋ 3)(x－ 1)＜ 0，解之得－ 3＜ x＜ 1．解集为 {x|－ 3＜ x＜ 1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例 9 已知集合 A＝ {x|x2－ 5x＋ 4≤ 0}与 B＝ {x|x2－ 2ax＋ a＋ 2 ≤ ，若 ，求 的范围．0} B A a 分析 先确定 A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系，结合 ，利用数形结合，建立 关于 的不等式．B A a 解 易得 A＝ {x|1≤ x≤ 4} 设 y＝ x2－ 2ax＋ a＋ 2(*) ( 1) B B A 0若 ＝ ，则显然 ，由 Δ ＜ 得  4a2－ 4(a＋ 2)＜ 0，解得－ 1＜ a＜ 2． ( 2) B ( * ) 1 16若 ≠ ，则抛物线 的图像必须具有图 － 特征： 应有 ≤ ≤ ≤ ≤ 从而{ x | x x x } { x |1 x 4}1 2  1 2a 1 2 04 2a 4 a 2 01 4 12 a22－ ＋ ＋ ≥－ ＋ ＋ ≥≤ ≤解得 ≤ ≤aa 22187 综上所述得 的范围为－ ＜ ≤ ．a 1 a 187 说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例 10 解关于 x的不等式 (x－ 2)(ax－ 2)＞ 0． 分析 不等式的解及其结构与 a 相关，所以必须分类讨论． 解 1176。 当 a＝ 0 时，原不等式化为 x－ 2＜ 0 其解集为 {x|x＜ 2}； 2 a 0 2 (x 2) ( x ) 0176。 当 ＜ 时，由于 ＞ ，原不等式化为 － － ＜ ，其解集为2 2a a {x| 2a x 2}＜ ＜ ； 3 0 a 1 2 (x 2) ( x ) 0176。 当 ＜ ＜ 时，因 ＜ ，原不等式化为 － － ＞ ，其解集为2 2a a {x| x 2 x }＜ 或 ＞ ；2a 4176。 当 a＝ 1 时，原不等式化为 (x－ 2)2＞ 0，其解集是 {x|x≠ 2}； 5 a 1 2 (x 2) ( x ) 0176。 当 ＞ 时，由于 ＞ ，原不等式化为 － － ＞ ，其解。