高二数学不等式和绝对值不等式

高二数学不等式和绝对值不等式内容摘要：

解 法 对 吗。 练习： θ是锐角，求 y=sinθcos2θ的最大值。 2 2 4 2 2 222232 2 21si n c os 2 si n c os c os21 2 si n c os c os 4( ) ,2 3 2732 si n c os 1 si n , si n323.9y           max解 ：当 且 仅 当 即时 取 等 号 ， 此 时 y2P1 1 1 5 },2 .2bh2b课 本 第 题 已 知 a0, b0, 且 h=min{a, a求 证 ：22222 2 2 2222 2 2 2222 0 , 0 , 2 ,112 , , ,22 0 h=m i n{ a , } ,0h= m i n{ a , } ,12,.22a b a b aba b ab bab a b a bbaabbba b a bbhaab         证 明 ：即 a由 于从 而 h 1在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大。 1已知球的半径为 R，球内球圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 r与 h为何值时，内接圆柱的体积最大。 二、绝对值不等式 绝对值三角不等式 实数 a的 绝对值 |a|的几何意义是表示数轴上坐标为 a的点 A到原点的距离： O a A x |a| x A B a b |ab| 任意两个实数 a,b在数轴上的对应点分别为 A、 B，那么 |ab|的几何意义是 A、 B两点间的距离。 联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究 |a|,|b|,|a+b|,|ab|等之间的关系： 分 ab0和 ab0两种情形讨论： （ 1）当 ab0时，如下图可得 |a+b|=|a|+|b| O x a b a+b O x a b a+b （ 2）当 ab0时，也分为两种情况：如果 a0,b0，如下图可得： |a+b||a|+|b| O b a x a+b 如果 a0, b0，如下图可得： |a+b||a|+|b| a+b a b x O （ 3）如果 ab=0，则 a=0或 b=0，易得： |a+b|=|a|+|b| 定理 1 如果 a, b是实数，则 |a+b|≤|a|+|b| 当且仅当 ab≥0 时，等号成立。 探究 如果把定理 1中的实数 a, b分别换成向量 a, b, 能得出什么结果。 你能解释它的几何意义吗。 ababO x y 探究 当向量 a, b共线时，有怎样的结论。 这个不等式称为 绝对值三角不等式。 定理 1的代数证明： 22 2 2 2 20 | | , | | ( )2 | | 2 | | | | ( | | | | ) | | | |ab ab ab a b a ba ab b a ab b a b a b             证 明 ： 当 时 ，22 2 2 22 2 20 , | | ( )2 | | 2 | | | || | 2 | | | | ( | | | | ) | | | | , | | | | | | ,0ab ab ab a b a ba ab b a ab ba ab b a b a ba b a bab                  当 时 ，所 以当 且 仅 当 时 ， 等 号 成 立。 探究 你能根据定理 1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|ab|等之间的其他关系吗。 例如：|a||b|与 |a+b|， |a|+|b|与 |ab|， |a||b|与 |ab|等之间的关系。 |a||b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a b|, |a||b|≤|a b|. 如果 a, b是实数，那么 |a||b|≤|a 177。 b|≤|a|+|b| 例 1 已知 ε 0， |xa|ε ,|yb|ε ，求证： |2x+3y2a3b|5ε . 证明： |2x+3y2a3b|=|(2x2a)+(3y3b)| =|2(xa)+3(yb)|≤|2(xa)|+|3(yb)| =2|xa|+3|yb|2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y2a3b|5ε . 定理 2 如果 a, b, c是实数，那么。