高三数学辅导讲座函数三

高三数学辅导讲座函数三内容摘要：

3 xlg221+lgx+4=0 例 a0且 a≠1, 求证：方程 ax+ax=2a的根不在区间 [1,1]内 解：设 t=ax,则原方程化为： t22at+1=0 (1) 由 Δ=4a240得 a21,即 a1 令 f(t)= t22at+1 , f(a)=a22a2+1=1a20 下略 例 ： lg2x[lgx]2=0 (其中[x]表示不大于实数 x的最大整数 ) 解：由 [x]的定义知， [x]≤ x， 故原方程可变为不等式： lg2xlgx2≤0 即 1≤lg x≤2 当 1≤lg x0时， [lgx]= 1，于是原方程为 lg2x=1 当 0≤lg x1时， [lgx]=0，原方程为 lg2x=2， 均不符合 [lgx]=0 当 1≤lg x2时， [lgx]=1，原方程为 lg2x=3，所以 当 lgx=2时， x=100 所以原方程的解为 解：易知： a0且 a≠1 ， 设 u=x2+ax+5，原不等式可化为 例 a为何值时，不等式 有且只有一解 因为 f(4)=log3(2+1) log5(4+1)=1 所以 (1)等价于 u4,即 x2+ax+54 此不等式有无穷多解 (1)当 0a1时，原不等式为 (1) 由于当 u0时， 均为单调增函数，所以它们的乘积 也是单增函数 由 f(4)=1知， (2)等价于 0≤ u≤4 ， 即 0≤ x2+ax+5≤4 从上式可知，只有当 x2+ax+5=4有唯一解 即 Δ= a24=0， a=2时， 不等式 0≤ x2+ax+5≤4 有唯一解 x= 1 综上所述，当 a=2时原不等式有且只有一个解 (2)当 a1时，不等式化为 (2) 例 a0且 a≠1 ，试求使方程 有解的 k的取值范围 解：原方程即 即 又当 k=0时，代入原式可推出 a=0与已知矛盾， 故 k的取值范围为 (∞, 1)U(0,1) 分别解关于 的不等式、方程得： (k≠0 时） 所以 解得 k 1或 0k1 解：易知 f(x)的定义域为 (0,+∞) ∵y 1=3+ 在 (0,+∞) 上是减函数， y2=log2x在 (0,+∞) 上是增函数， 而当 y1=y2，即 例 f(x)=min(3+ ， ),其中 min(p,q)表 示 p、 q中的较小者，求 f(x)的最大值 七 .函数的最值与函数的值域 f(x)=log2x (2) (1) 2+(2)消去 log2x， 得 3f(x)=6， f(x)=2 又 f(4)=2,故 f(x)的最大值为 2 另解： f(x)=3+ =3 (1) 3+ =log2x时， x=4， 故当 x=4时，得 f(x)的最大值是 2 例 的最小值 解：由 13x0得，。