高三数学离散型随机变量的期望与方差

高三数学离散型随机变量的期望与方差内容摘要：

(4 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 4) ＝ 2 ， ∴ E ( ξ ＋ 2)2＝ E ( ξ2＋ 4 ξ ＋ 4) ＝ Eξ2＋ 4 Eξ ＋ 4 ＝ 11 ＋ 12 ＋ 4 ＝ 27. D (2 ξ － 1) ＝ 4 Dξ ＝ 8 ， σ ( ξ － 1) ＝ D ( ξ － 1 ) ＝ Dξ ＝ 2 . ξ 是随机变量，则 η ＝ f ( ξ ) 一般仍是随机变量，在求 η 的均值和方差时，熟练应用均值和方差的性质，可以避免再求 η 的分布列带来的繁琐运算． 1 ．设 ξ ～ B (10 0 ， p ) ，求 p 为何值时， D (2 ξ－ 1) 取得 最大值。 【解析】 ∵ ξ ～ B (1 00 ， p ) ， ∴ Dξ ＝ 100 p (1 － p ) ， ∴ D (2 ξ － 1) ＝ 4 Dξ ＝ 4 100 p (1 － p ) ＝－ 400[( p －12)2－14] ＝－ 400( p －12)2＋ 100 ， ∴ p ＝12时， D (2 ξ － 1) 取得最大值． 均值与方差的实际应用 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年 后利润是 万元、 万元、 万元的概率分别为1113；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是 p (0 ＜ p＜ 1) ，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整． 设乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资十万元， X 取 0 、 1 、 2时，一年后相应利润是 万元、 万元、 万元．随机变量 X 1 ， X 2 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润． (1) 求 X 1 ， X 2 的概率分布列和均值 EX 1 ， EX 2 ； (2) 当 EX 1 ＜ EX 2 时，求 p 的取值范围． 【思路点拨】 (1) 求分布列，应先确定 X 2的取值，再求 X 2 的取值对应的概率； (2) 由 EX 1 ＜ EX 2 ，找出关于 p 的不等式，即可求出 p 的范围． 【解析】 (1) 方法一： X 1 的概率分布列为 X 1 1.17 P 16 12 13 EX 1 ＝ 16＋ 12＋ 13＝ . 由题设得 X ～ B (2 ， p ) ，即 X 的概率分布列为 X 0 1 2 P (1 － p )2 2 p (1 － p ) p2 故 X 2 的概率分布列为 X 2 P (1 － p ) 2 2 p (1 － p ) p 2 所以 X2的均值为 EX2＝ (1 － p )2＋ 2 p (1 － p ) ＋ p2 ＝ (1 － 2 p ＋ p2) ＋ ( p － p2) ＋ p2 ＝－ p2－ p ＋ . 由 Ex1＜ Ex2得 p2＋ 0 .1 p － ＜ 0 且 0 ＜ p＜ 1 ∴ 0 ＜ p ＜ . 方法二： X1的概率分布列为 X1 P 16 12 13 EX1＝ 16＋ 12＋ 13＝ . 设 Ai表示事件 “ 第 i 次调整，价格下降 ” (i＝ 1,2) ， 则 P ( X ＝ 0) ＝ P ( A1) P ( A2) ＝ (1 － p )2， P ( X ＝ 1) ＝ P ( A 1 ) P ( A 2 ) ＋ P ( A 1 ) P ( A 2 ) ＝ 2 p (1－ p ) ， P ( X ＝ 2) ＝ P ( A 1 ) P ( A 2 ) ＝ p2. 故 X 2 的概率分布列为 X 2 P (1 － p )2 2 p (1 － p ) p2 所以 X2的均值为 EX2＝ (1 － p )2＋ 1 .25 2 p (1 － p ) ＋ p2 ＝ (1 － 2 p ＋ p2) ＋ ( p － p2) ＋ p2 ＝－ p2－ p ＋ . (2) 由 EX1＜ EX2，得－ p2－ p ＋ ＞ ， 整理得 ( p ＋ )( p － ) ＜ 0 ， 解得－ ＜ p ＜ . 因为 0 ＜ p ＜ 1 ，所以当 EX1＜ EX2时， p 的取值范围是 0 ＜ p ＜ . 【 方法点评】 1. DX 表示随机变量 X 对EX 的平均偏离程度， DX 越大表明平均偏离程度越大，说明 X 的取值越分散；反之，DX 越小， X 的取值越集中在 EX 附近，统计中常用 DX 来描述 X 的分散程度． • 2．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． • 2．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下： ξ 110 120 125 130 135 P η 100 115 125 130 145P • 其中 ξ和 η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于 120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好． 【解析】 首先看两建材厂的材料的抗拉强度的数学期望，然后再比较它们的方差． Eξ ＝ 1 10 ＋ 12 0 ＋ 125 ＋130 ＋ 135 ＝ 125 ， Eη ＝ 100 0. 1 ＋ 1 1 5 ＋ 125 ＋130 ＋ 145 ＝ 125 ， Dξ ＝ (1 10 － 125 )2＋ (120 － 125)2＋ (125 － 125)2＋ (130 － 125)2＋ (135 － 125)2＝ 50 ， Dη ＝ (10 0 － 125 )2＋ (1 15 － 125)2＋ (125 － 125)2＋ (130 － 125)2＋ (145 － 125)2＝。