高三数学直线和平面垂直

高三数学直线和平面垂直内容摘要：

C 于 E ，连结 DE ， ∵ AA1C1C 为矩形，则 E 为 AC1的中点． 又 D 是 AB 的中点， ∴ 在 △ ABC1中， DE ∥ BC1. 又 DE ⊂ 平面 CA1D ， BC1⊄ 平面 CA1D ， ∴ BC1∥ 平面 CA1D . (2) ∵ AC ＝ BC ， D 为 AB 的中点， ∴ 在 △ ABC 中， AB ⊥ CD . 又 AA1⊥ 平面 ABC ， CD ⊂ 平面 ABC ， ∴ AA1⊥ CD . 又 AA1∩ AB ＝ A ， ∴ CD ⊥ 平面 AA1B1B . 又 CD ⊂ 平面 CA1D ， ∴ 平面 CA1D ⊥ 平面 AA1B1B . • 证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面． • 1．如图所示，已知△ ABC中， ∠ ABC＝90176。 ， P为△ ABC所在平面外一点， PA＝ PB＝PC. • 求证：平面 PAC⊥ 平面ABC. • 【 证明 】 取 AC的中点 O， • 连接 PO， OB， • ∵ AO＝ OC， PA＝ PC， ∴ PO⊥ OA. • 又 ∵∠ ABC＝ 90176。 ， ∴ OB＝ OA. • 又 PB＝ PA， PO＝ PO，∴ △ POB≌ △ POA， • ∴ PO⊥ OB， ∴ PO⊥ 平面ABC.∵ PO⊂平面 PAC， • ∴ 平面 PAC⊥ 平面 ABC. 平面与平面垂直性质的应用 (2 00 8 年山东高考 ) 如图 ， 在四棱锥 P － ABC D 中 ， 平面P AD ⊥ 平面 ABCD ， AB ∥ DC ，△ P AD 是等边三角形 ， 已知BD ＝ 2 AD ＝ 8 ， AB ＝ 2 DC ＝4 5 . • (1)设 M是 PC上的一点， • 证明：平面 MBD⊥ 平面 PAD； • (2)求四棱锥 P－ ABCD的体积． • 【 思路点拨 】 (1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面 MBD内一定有一定直线垂直于平面 PAD，考虑证明 BD⊥ 平面 PAD. • (2)四棱锥底面为一梯形，高为 P到面ABCD的距离． 【解析】 (1) 证明：在 △ ABD 中， ∵ AD ＝ 4 ， BD ＝ 8 ， AB ＝ 4 5 ， ∴ AD2＋ BD2＝ AB2. ∴ AD ⊥ BD . 又 ∵ 面 P AD ⊥ 面 ABCD ，面 P AD ∩ 面 ABCD＝ AD ， BD ⊂ 面 ABCD ， ∴ BD ⊥ 面 P AD . 又 BD ⊂ 面 BD M ， ∴ 面 MBD ⊥ 面 P AD . (2) 过 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P AD ⊥ 面 ABCD ， ∴ PO ⊥ 面 ABCD ， 即 PO 为四棱锥 P － ABCD 的高． 又 △ P AD 是边长为 4 的等边三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ，AB ＝ 2 DC ， ∴ 四边形 ABCD 为梯形． 在 Rt △ ADB 中，斜边 AB 边上的高为4 84 5＝8 55， 此即为梯形的高． ∴ S 四边形AB CD＝2 5 ＋ 4 528 55＝ 24. ∴ VP － ABCD＝13 24 2 3 ＝ 16 3 . • 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线．把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等． • 2．如图，在正三棱锥 A—BCD中，∠ BAC＝ 30176。 ， AB＝ a，平行于 AD、BC的截面 EFGH分别与 AB、 BD、 DC、CA交于 E、 F、 G、 H四点． • (1)试判断四边形的形状，并说明判断理由； • (2)设 P点是棱 AD上的点，当 AP为何值时，平面 PBC⊥ EFGH。 请说明理由． 【解析】 (1) 四边形 EFGH 是一个矩形，下面给出证明： ∵ AD ∥ 面 EFGH。