高三数学排列组合及其应用

高三数学排列组合及其应用内容摘要：

”问题，可分别用相应方法． 【自主解答】 (1) 从 7 个人中选 5 个人来排列，有 A57 ＝ 7 6 5 4 3 ＝ 2 520 种． (2) 分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人排在后排，有 A44 种方法，故共有 A37 A44 ＝ 5 040 种．事实上，本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任何限制条件． (3)( 优先法 ) 方法一 ： 甲为特殊元素 ． 先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 A66 种方法，故共有 5 A66＝ 3 600 种 ． 方法二： 排头与排尾为特殊位置 ． 排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列，有 A26 种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进行全排列有 A55 种方法，共有 A26 A55 ＝ 3 600 种 ． (4)( 捆绑法 ) 将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，有 A44种方法，再将4 名女生进行全排列，也有 A44种方法，故共有 A44 A44＝ 576 种 ． (5)( 插空法 ) 男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男 生，有 A35种方法，故共有 A44 A35＝ 1 440 种 ． (6) 把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有 A22 种方法，再从剩下的 5 人中选 3 人排到中间，有 A35 种方法，最后把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，与剩余 2 人全排列，有 A33 种方法， 故共有 A22 A35 A33 ＝ 720 种 ． • 求排列应用题的主要方法有： • (1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算． • (2)特殊元素 (或位置 )优先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置． • (3)排列、组合混合问题先选后排的方法． • (4)相邻问题捆绑处理的方法．即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列． • (5)不相邻问题插空处理的方法．即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． • (6)分排问题直排处理的方法． • (7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法． • (8)定序问题除法处理的方法．即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列． • (9)正难则反，等价转化的方法． • 1．由四个不同数字， 1,2,4， x组成无重复数字的三位数． • (1)若 x＝ 5，其中能被 5整除的共有多少个。 • (2)若 x＝ 9，其中能被 3整除的共有多少个。 • (3)若 x＝ 0，其中的偶数共有多少个。 • (4)若所有这些三位数的各位数字之总和是 252，求 x. 【解析】 (1)5 必在个位，所以能被 5 整除的三位数共 有 A23＝ 6 个 ． (2) ∵ 各位数字之和被 3 整除时，该数能被 3整除， ∴ 这种三位数只能由 2 , 4 , 9 或 1 , 2 , 9 排列组成， ∴ 共有 2A33＝ 12 个 ． (3) 偶数数字有 3 个，个位数必是一个偶数，同时 0 不能在百位，可分两类考虑： ① 0 在个位时，有 A23＝ 6 个， ② 个位是 2 或 4 的，有 A12A12A12＝ 8 个， ∴ 这种偶数共有 6 ＋ 8 ＝ 14 个 ． (4) 显然 x ≠ 0 ， ∵ 1,2,4 ， x 在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现 A14 A23 次， ∴这样的数字和是 (1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ x ) A13 A23 ，即 (1＋ 2 ＋ 4 ＋ x ) A13 A23 ＝ 252 ， ∴ 7 ＋ x ＝ 14 ， x ＝ 7. 组合应用题 7 名男生 5 名女生中选取 5 人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。 (1) A ， B 必须当选； (2) A ， B 必不当选； (3) A ， B 不全当选； (4) 至少有 2 名女生当选； • (5)选取 3名男生和 2名女生分别担任班长、体育委员等 5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任． • 【 思路点拨 】 (1)(2)属于组合问题，可用直接法； (3)(4)属于组合问题可用间接法； (5)属于先选后排问题应分步完成． 【解析】 (1) 由于 A ， B 必须当选，那么从剩下的 10 人中选取 3 人即可， ∴ 有 C310＝ 120 种 ． (2) 从除去 A ， B 两人的 10 人中选。