高三数学函数的奇偶性

高三数学函数的奇偶性内容摘要：

定义域为 R. ① 当 a＝ 0时， f(x)＝ |x|， ∴ f(－ x)＝ f(x)， 此时 f(x)为偶函数． ②当 a≠0 时， ∵ f(a)＝ 0， f(－ a)＝ 2|a|， ∴ f(－ a) ≠f(a) 且 f(－ a)≠ － f(a)， 此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上可知， a＝ 0时， f(x)为偶函数； a≠0 时， f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 分数函数的奇偶性 已知函数 f(x)＝ 试判断函数 f(x)的奇偶性． 【 思路点拨 】 【 自主探究 】 由题设可知函数的定义域关于原点对称． 当 x＞ 0时，－ x＜ 0， ∴ f(x)＝ f(－ x)． 当 x＜ 0时，－ x＞ 0， ∴ f(x)＝ f(－ x)． 综上所述，对于 x≠0 都有 f(－ x)＝ f(x)成立， ∴ f(x)为偶函数． 【 方法点评 】 分段函数奇偶性的判定步骤： (1)分析其定义域是否关于原点对称； (2)对 x的值进行分段讨论，寻求 f(x)与 f(－ x)在各段上的关系； (3)综合 (2)在定义域内 f(－ x)与 f(x)的关系，从而判断f(x)的奇偶性． 【 解析 】 当 x＜－ 1时， f(x)＝ x＋ 2，－ x＞ 1， ∴ f(－ x)＝－ (－ x)＋ 2＝ x＋ 2＝ f(x)． 当 x＞ 1时， f(x)＝－ x＋ 2，－ x＜－ 1， ∴ f(－ x)＝ (－ x)＋ 2＝－ x＋ 2＝ f(x)． 当－ 1≤x≤1 时， f(x)＝ 0，－ 1≤ － x≤1 ， ∴ f(－ x)＝ 0＝ f(x)． 综上可知，对于定义域内的每一个 x都有 f(－ x)＝ f(x)， ∴ f(x)为偶函数． 2．判断函数 f(x)＝ 抽象函数的奇偶性 已知函数 f(x)对一切 x、 y∈R ， 都有 f(x＋ y)＝ f(x)＋ f(y)． (1)试判断 f(x)的奇偶性； (2)若 f(－ 3)＝ a，用 a表示 f(12)． 【 思路点拨 】 (1)判断 f(x)的奇偶性，即找 f(－ x)与 f(x)之间的关系， ∴ 令 y＝－ x，有 f(0)＝ f(x)＋ f(－ x)，再想法求 f(0)即可； (2)寻找 f(12)与 f(－ 3)之间的关系，注意用 (1)问的结论． 【 自主探究 】 (1)显然 f(x)的定义域是 R，关于原点对称． 又 ∵ 函数 f(x)对一切 x、 y∈R 都有 f(x＋ y)＝ f(x)＋ f(y)， ∴ 令 x＝ y＝ 0，得 f(0)＝ 2f(0)， ∴ f(0)＝ 0. 再令 y＝－ x，得 f(0)＝ f(x)＋ f(－ x)， ∴ f(－ x)＝－ f(x)， ∴ f(x)为奇函数． (2)∵f( － 3)＝ a且 f(x)为奇函数， ∴ f(3)＝－ f(－ 3)＝－ a.。