工学]基于matlab的iir数字滤波器的设计与仿真-论文原文

工学]基于matlab的iir数字滤波器的设计与仿真-论文原文内容摘要：

通带最大 衰减 p 、阻带截止频率 s 、阻带最小衰减 s。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。 (4)用所选的转换方法，将模拟滤波器 )(sHa 转换成数字低通滤波器系统函数 )(zH。 IIR数字滤波器的设计 流程图如下： 图 IIR数字滤波器的设计步骤流程图 成熟的 数字 滤波器设计方法主要有脉冲响应不变法和双线性变换法。 用脉冲相应不变法设计 IIR 数字滤波器 一 设计原理 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将 ha(t)进行等间隔采样，使 h(n)正好等于 ha(t)的采样值，满 足h(n)=ha(nT)，式中 T是采样周期。 )(ZfS 数字滤波器 技术指标 模拟滤波器 技术指标 数字滤波器 )(ZH 模拟滤波器 )(SHa 模拟滤波器 设计方法 变换 )(g 变换 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 14 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯变换， H(z)为 h(n)的 Z变换，利用采样序列的 Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得     k ak sagz kTjsXTjksXTzX xT 21)(1|)( () 则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的 S 平面变换成数字滤波器的 Z平面，这个从 s到 z的变换 z=esT是从 S平面变换到 Z平面的标准变换关系式。 j3  / T / T－ 3 / T－  / To o － 1 1jI m [ z ]R e [ z ]Z 平面S 平面 图 脉冲响应不变法的映射关系 由（ ）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为   k aj T kjHTeH  21)( () 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。 正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 0)( jHa 2sT   () 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即  TjHTeH ae j  1)(  () 但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变换后就会西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 15 产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。 这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响 ，而带有一定的失真。 当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。 这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 － 3 － 2… …)j(aΩHoo－  2  3   ＝   T)(ej HTπ2TπTπTπ2－ 图 对某一模拟滤波器的单位冲激响应 ha(t)进行采样，采样频率为 fs，若使 fs增加，即令采样时间间隔（ T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。 二 脉冲响应不变法的优点 从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系 ω =Ω T。 因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到 的仍然是一个线性相位的数字滤波器。 脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。 所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器 (例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器 )，而且高频衰减越快，混叠效应越小。 至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。 如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 16 不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。 当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。 双线性变换法设计 IIR 数字滤波器 一 设计原理 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。 这是因为从 S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 π /T～π /T 之间，再用 z=esT 转换到 Z平面上。 也就是说，第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1平面的 π /T～π /T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系 z=es1T将此横带变换到整个 Z 平面上去。 这样就使 S平面与 Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图 所示。 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ] / Tj11－  / TS1平面S 平面j o o 图 为了将 S平面的整个虚轴 jΩ 压缩到 S1平面 jΩ 1轴上的 π /T到π /T段上，可以通过以下的正切变换实现  2tan2 1TT () 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 17 式中 ,T仍是采样间隔。 当 Ω 1 由 π /T 经过 0 变化到 π /T 时， Ω 由 ∞经过 0 变化到 +∞，也即映射了整个 jΩ 轴。 将式（ 26）写成 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj  () 将此关系解析延拓到 整个 S 平面和 S1 平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，则得 TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs  a 112/2/2/2/ () 再将 S1平面通过以下标准变换关系映射到 Z平面 Tsez 1 () 从而得到 S平面和 Z平面的单值映射关系为： 11112 zzTs () sTsTsTsTz 222121 () 式（ ）与式（ ）是 S平面与 Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换 式（ ）与式（ 的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先 ,把 z=ejω ，可得   jTjeeTs jj 2t a n2112  （ ） 即 S 平面的虚轴映射到 Z平面的单位圆。 其次，将 s=σ +jΩ 代入式（ 212），得 jTjTz22 （ ） 因此 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 18 222222  TTz （ ） 由此看出，当 σ 0 时， |z|1；当 σ 0 时， |z|1。 也就是说， S 平面的左半平面映射到 Z平面的单位圆内， S 平面的右半平面映射到 Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 二 双线性变换法优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。 这是因为 S平面与 Z平面是单值的一一对应关系。 S平面整个 jΩ 轴单值地对应于 Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。 这个关系如式（ ）所示，重写如下：  2tan2 T （ ） 上式表明， S 平面上 Ω 与 Z 平面的 ω 成非线性的正切关系，如图。 由图 看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当 Ω 进一步增加时， ω 增长得越来越慢，最后当 Ω →∞时，ω 终止在折叠频率 ω =π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆 到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。 图 －  o 2t a n2 T ＝西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 19 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（ ）及图 所示。 由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。 首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然 变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 所示 : o oo)j(a ΩH)(ej H ooo)](ea r g [j H)]j(a r g [ a ΩH 图 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸 变 来加以校正。 也就是将临界 模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 20 第 4 章 IIR 数字滤波器的实现 利用 MATLAB设计滤波器 ,可以按照设计要求非常方便地调整设计参数 ,极大地减轻了设计的工作量 ,有利 于滤波器设计的最优化。 MATLAB因其强大的数据处理功能被广泛应用于工程计算 ,其丰富的工具箱为工程计算提供了便利 ,利用MATLAB信号处理工具箱可以快速有效地设计各种数字滤波器 ,设计简单方便。 MATLAB 简介 MATLAB 的概况 MATLAB 是矩阵实验室（ Matrix Laboratory）之意。 除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学 ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB来解算问题要比用 C,FORTRAN等语言完 成 相同的事情简捷得多 . MATLAB 拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包 (Toolbox).工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包 .功能工具包用来扩充 MATLAB 的符号计算 ,可视化建模仿真 ,文字处理及实时控制等功能 .学科工具包是专业性比较强的工具包 ,控制工具包 ,信号处理工具包 ,通信工具包等都属于此类 . 开放性使 MATLAB广受用户欢迎 .除内部函数外 ,所有 MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件 ,用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造 新的专用工具包 . MATLAB 的语言特点 MATLAB 最突出的特点就是简洁。 MATLAB 用更直观的，符合人们思维习惯的西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 21 代码，代替了 C 和 FORTRAN 语言的冗长代码。 MATLAB 给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。 以下简单介绍一下 MATLAB 的主要特点： （ 1） 语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。 MATLAB 程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。 由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。 可以说，用 MATLAB 进行科 技开发是站在专家的肩膀上。 （ 2） 运算符丰富。 由于 MATLAB 是用 C 语。