棱锥与它的性质

棱锥与它的性质内容摘要：

SAB≌ △ SBC， ∴ CE⊥ SB ∴∠ AEC为侧面 SAB与侧面 SBC所成二面角的平面角 . ∴∠ AEC=120176。 ，连结 EO ∵ AO=CO， AE=EC ∴∠ AEO=60176。 • 棱锥的斜高为 a,高为 a/2, • 侧棱长为 a. • 例 1 已知正六棱锥的侧面和底面所成的角为 φ，底面边长为 a，求这个正六棱锥的高、侧棱和斜高． • 解 作出正六棱锥的特征图形，如图，过底面中心 O作 OM⊥ AB于 M，连 SM，则由三垂线定理 SM⊥ AB， ∠ SMO=φ， AM＝ a/2 O M S A 在 Rt△ SAO中 注 图形较复杂时，可以作出与已知数量和所求数量有关的特征图 • 例 ，求证：截面是锐角三角形 . 已知：正方体中截去以 P为顶点的一角得截面ABC. 求证： ΔABC是锐角三角形 . P 例 P－ ABCD 的底面是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD⊥ 底面 ABCD， （ 1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小； （ 2）当 的值等于多少时，能使 PB⊥ AC。 请给出证明 . （ 1）设平面 PAB ∩平面 PCD= l ∵ AB∥ CD， ∴ AB ∥ 面 PCD. ∴ AB∥ l ， CD∥ l ， ∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD，且 AB⊥ AD， ∴ AB⊥ 面 PAD， ∴ AB⊥ PA， AB⊥ PD， ∴ l ⊥ PA， l ⊥ PD， ∴∠ APD 为二面角 AB－ l － CD 的平面角， ∵ △ PAD 为正三角形， ∴∠ APD=60176。 . • 证明： 如图， P— ABC是一个四面体 . ∵ ΔPAB， ΔPBC， ΔPCA都是直角三角形 . ∴ 则 z2＝ (a2+b2c2)/2 ∵ z≠0， ∴ a2+b2c2＞ 0 即 c2＜ a2+b2,∴ b2＜ a2+c2. ∴∠ BAC,∠ ABC都小于 90176。 . ∴ ΔABC为锐角三角形 . P 167。 (1) x’ y’ O’ z’ A B C D E F 直棱柱的直观图的画法 (2) x’ y’ O’ z’ A B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ 直棱柱的直观图的画法 (3) x’ y’ z’ A B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ (1) x’ y’ O’ z’ A B C D E 正棱锥的直观图的画法 (2) x’ y’ O’ z’ A B C D E S 正棱锥的直观图的画法 (3) A B C D E S 正六棱锥 A B C D E F • 补充内容 . 棱锥的面积 (1)正棱锥的侧面积 棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．设正 n棱锥的底面边长为 a，周长为 c，斜高为 h39。 ，则展开图的面积等于n ah39。 = ch39。 ． • (2)正棱锥的侧面积公式 : 如果正棱锥的底面周长是 c，斜高是 h‘，那么它的侧面积是 S正棱锥侧 • (3)棱锥的全面积 : 棱锥的全面积等于侧面积与底面积的和． • 棱锥的体积公式 ： 如果棱锥的底面积是 S，高是 h，那么它的体积是 V三棱锥 = sh． 棱锥体积公式研究 例 如图：三棱柱 AD1C1BDC,底面积为 S,高为 h. 问： 这几个三棱锥的体积关系如何。 C D A B C D1 A D C C1 D1 A 结论：底面积是 S,高是 h的棱锥体积为 V棱锥 = A B D C D1 C1 解： ∵ 三棱锥 ADD1C,三棱锥 AD1C1C等底等高。 ∵ 三棱锥 CD1DA,三棱锥 CABD等底等高。