数系的扩充和复数的相关概念

数系的扩充和复数的相关概念内容摘要：

－ 7 a ＋ 6 ＝ 0⇒ a ≠ － 1 且 a ≠ 6a ≠ 177。 1a ＝ 1 或 a ＝ 6 则 a 不存在， ∴ z 不可能为纯虚数 ． 复数相等的充要条件 已知集合 M＝ {－ 1,4， (m2－ 3m－ 1)＋ (m2－ 16i}，N＝ {1,3}， M∩ N＝ {3}，求实数 m的值． 解析 ： ∵ M∩N＝ {3}，得 (m2－ 3m－ 1)＋ (m2－ 16)i＝ 3，由复数相等的充要条件，得  m 2 － 3 m － 1 ＝ 3m 2 － 16 ＝ 0 ⇒  m ＝ 4 ，或 m ＝－ 1m ＝ 177。 4 ⇒ m ＝ 4. ∴ m＝ 4 点评 ： 利用复数相等的充要条件，把复数问题化归为实数问题是解复数问题常用的办法． 跟踪训练 3．已知实数 x，纯虚数 y满足 (2x－ 1)＋ (3－ y)i＝ y－ i，求x， y的值． 解析 ： 根据复数相等的充要条件 y 是纯虚数，可设 y ＝ b i ( b ≠ 0 ) ，则 ( 2 x － 1 ) ＋ b ＋ 3i ＝ b i－ i 即 ( 2 x － 1 ＋ b ) ＋ 3i ＝ ( b － 1 ) i， 得 2 x － 1 ＋ b ＝ 03 ＝ b － 1⇒ b ＝ 4x ＝－32，则 x ＝－32y ＝ 4i. 复数全是实数时可比较大小 如果 m2－ (m2－ 3m)i＜ 4，求实数 m的取值范围． 解析 ： 当两个复数全是实数时，才能比较它们的大小． 所以 m 2 ＜ 4m 2 － 3 m ＝ 0 ⇒  － 2 ＜ m ＜ 2m ＝ 0 或 m ＝ 3 ⇒ m ＝ 0. ∴ m＝ 0. 点评 ： (1)挖掘题目的隐含条件 —— 两个复数能比较大小，则两个数都是实数． (2)两个复数能比较大小，只需比较它们的实部的大小即可． 4．已知 z1＝－ 4a＋ 1＋ (2a2＋ 3a)i， z2＝ 2a＋ (a2＋ a)i，其中 a∈ R，若 z1＞ z2，求 a的取值范围． 跟踪训练 解析 ： 当两个复数全是实数时，才能比较它们的大小 ． 所以 2 a2＋ 3 a ＝ 0a2＋ a ＝ 0－ 4 a ＋ 1 ＞ 2 a⇒ a ＝ 0 或 a ＝－32a ＝ 0 或 a ＝－ 1a ＜16⇒ a ＝ 0. ∴ a ＝ 0. 1． 虚数单位 i具有两条性质： (1)它的平方等于－ 1，即 i2＝－ 1. (2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立． 2．关于复数的代数形式 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，注意以下几点： (1)a， b∈ R，否则不是代数形式． (2)从代数形式可判定 z是实数、虚数还是纯虚数． 反之，若 z是纯虚数，可设 z＝ bi(b≠ 0， b∈ R)； 若 z是虚数，可设 z＝ a＋ bi(b≠ 0， b∈ R)； 若 z是复数，可设 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)． (3)形如。