对数函数的图像和性质

对数函数的图像和性质内容摘要：

0 . 7 (2 x ) ＜ l og 0 . 7 ( x － 1) ， 得 2 x ＞ 0x － 1 ＞ 02 x ＞ x － 1，解得 x ＞ 1. 【 误区警示 】 对数不等式切记不要漏掉定义域 ． 变式训练 3 ．求函数 f ( x ) ＝ l o g 0 . 1  4 x － 3  的定义域； 解： 要使函数有意义需有 4 x － 3 ＞ 0 ，l og 0 . 1  4 x － 3  ≥ 0 ， 即 4 x － 3 ＞ 0 ，4 x － 3 ≤ 1 ，解得34＜ x ≤ 1. ∴ 函数 f ( x ) 的定义域为34， 1 . 题型四 对数函数性质的综合应用 ( 本题满分 12 分 ) 设 f ( x ) ＝ l og121 － axx － 1为奇函数， a 为常数． ( 1) 求 a 的值； ( 2) 试说明 f ( x ) 在区间 (1 ，＋ ∞ ) 内单调递增； ( 3) 若对于区间 [ 3,4] 上的每一个 x 值，不等式f ( x ) ＞ (12)x＋ m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 例 4 【思路点拨】 利用 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 恒成立求a ，把 f ( x ) 看作复合函数，根据 “ 同增异减 ”判断单调性，当 x ∈ [ 3, 4] 时，根据函数 g ( x ) ＝ f ( x ) ＝ (12)x的单调性 求最小值． 【解】 ( 1) ∵ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ l og 121 ＋ ax－ 1 － x＝－ l og 121 － axx － 1＝ l og 12x － 11 － ax. 2 分 ∴1 ＋ ax－ x － 1＝x － 11 － ax， 即 (1 ＋ ax ) ( 1 － ax ) ＝－ ( x ＋ 1) ( x － 1) ， ∴ a ＝－ 1( a ＝ 1 舍去 ). 4 分 ( 2) 由 ( 1) 可知， f ( x ) ＝ l o g12x ＋ 1x － 1＝ l og12(1 ＋2x － 1)( x ＞ 1 或 x ＜－ 1) ， 令 u ( x ) ＝ 1 ＋2x － 1( x ＞ 1) ， 对任意的 1 ＜ x1＜ x2， 有： u ( x1) － u ( x2) ＝ (1 ＋2x1－ 1) － (1 ＋2x2－ 1) ＝2  x2－ x1 x1－ 1  x2－ 1 . ∵ 1 ＜ x1＜ x2， ∴ x1－ 1 ＞ 0 ， x2－ 1 ＞ 0 ， x2－ x1＞ 0 ， ∴2  x2－ x1 x1－ 1  x2－ 1 ＞ 0 ， ∴ u ( x1) ＞ u ( x2). 6 分 ∴ l og12u ( x。