向量的应用及向量

向量的应用及向量内容摘要：

. 设 M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) ， 则 x1＋ x2＝8 k23 ＋ 4 k2 ， y 1 ＋ y 2 ＝ k ( x 1 ＋ x 2 － 2) ， PM→＋ PN→＝ ( x1－ m ， y1) ＋ ( x2－ m ， y2) ＝ ( x1＋ x2－ 2 m ， y1＋y2) ．由于菱形的两 条对角线互相垂直，则 ( PM→＋ PN→) MN→＝ 0 ， ∴ k ( y1＋ y2) ＋ x1＋ x2－ 2 m ＝ 0 ， ∴ k2( x1＋ x2－ 2) ＋ x1＋ x2－ 2 m ＝ 0 ， ∴ k2(8 k23 ＋ 4 k2－ 2) ＋8 k23 ＋ 4 k2－ 2 m ＝ 0 ， 由已知条件知 k ∈ R 且 k ≠ 0 ， ∴ m ＝k23 ＋ 4 k2＝13k2 ＋ 4， ∴ 0 m 14. 故存在满足题意的点 P ，且 m 的取值范围是 (0 ，14) ． ( 文 ) 如图所示，在 △ AO B 中，若 A ， B 两点坐标分别为 ( 2,0) ，( － 3,4) ，点 C 在 AB 上，且平分 ∠ BO A ，求点 C 的坐标． 解析： 设点 C 坐标为 ( x ， y ) 由于 c os ∠ AOC ＝ c os ∠ BOC ，且 c os ∠ AOC ＝OA→OC→| OA→| | OC→|， c os ∠ BO C ＝OB→OC→| OB→| | OC→|， ∴OA→OC→| OA→|＝OB→OC→| OB→|， ∴ 2 ， 0   x ， y 2＝ － 3 ， 4   x ， y 5， ∴ y ＝ 2 x . ① 又 ∵ BC→与 AC→共线， BC→＝ ( x ＋ 3 ， y － 4) ， AC→＝ ( x － 2 ， y ) ，∴ ( x ＋ 3) y － ( x － 2) ( y － 4) ＝ 0 ， ∴ 4 x ＋ 5 y － 8 ＝ 0. ② 由 ① ， ② 联立解之得 x ＝47，y ＝87.∴ C 点的坐标为47，87. ( 理 ) 已知点 C 的坐标为 ( 0,1) ， A 、 B 是抛物线 y ＝ x2上不同于原点 O 的相异的两个动点，且 OA→OB→＝ 0. ( 1) 求证： AC→∥ AB→； ( 2) 若 AM→＝ λ MB→( λ ∈ R ) ，且 OM→AB→＝ 0 ，试求点 M 的轨迹方程． 解析： 设 A ( x1， x21) ， B ( x2， x22) ， x1≠ 0 ， x2≠ 0 ， x1≠ x2 , ∵ OA→OB→＝ 0 ， ∴ x1x2＋ x21x22＝ 0 ， 又 x1≠ 0 ， x2≠ 0 ， ∴ x1x2＝－ 1. (1) 解法 1 ： kAC＝1 － x21－ x1＝－1x1＋ x1， 同理有 kBC＝－1x2＋ x2， ∵ x1x2＝－ 1 ， ∴ kAC＝ kBC， ∴ A 、 B 、 C 三点共线，即 AC→∥ AB→. 解法 2 ： ∵ AC→＝ ( － x1,1 － x21) ， BC→＝ ( － x2,1 － x22) ， ∴ ( － x1)(1 － x22) － ( － x2) ( 1 － x21) ＝ ( x2－ x1) ＋ x1x2( x2－ x1) ＝( x2－ x1)(1 ＋ x1x2) ＝ 0 ， ∴ AC→∥ BC→即 AC→∥ AB→. ( 2) 解： ∵ AM→＝ λ MB→， ∴ A 、 M 、 B 三点共线， 又 C 在 AB 上， ∠ OM C ＝ 90176。 ，故点 M 在以 OC 为直径的圆上运动，其轨迹方程为 x2＋ ( y －12)2＝14( y ≠ 0) . [ 例 3] ( 201 1 南通模拟 ) 已知向量 m ＝ ( 3 sinx4， 1) ， n ＝( c osx4， c os2x4) ． ( 1) 若 m n ＝ 1 ，求 c os(2π3－ x ) 的值 ； ( 2) 记 f ( x ) ＝ m n ，在 △ A BC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且满足 (2 a － c ) c os B ＝ b c os C ，求函数 f ( A ) 的取值范围． 向量与三角函数交汇 解析 ： ( 1) m n ＝ 3 sinx4 c osx4＋ c os2x4 ＝32sinx2＋1 ＋ c osx22＝ sin(x2＋π6) ＋12， ∵ m n ＝ 1 ， ∴ sin (x2＋π6) ＝12. c os( x ＋π3) ＝ 1 － 2sin2(x2＋π6) ＝12， c os(2 π3－ x ) ＝－ c os( x ＋π3) ＝－12. ( 2) ∵ (2 a － c ) c os B ＝ b c os C ， 由正弦定理得 ( 2sin A － sin C ) c os B ＝。