高三数学解三角形

高三数学解三角形内容摘要：

C2. 1 ． △ ABC 中 ， a ＝ 2 3 ， b ＝ 6 ， A ＝ 3 0176。 ， 求 B 及 S △ A B C . 【 解析 】 ∵asinA＝bsinB， ∴ sin B ＝bsin Aa＝6 sin30176。 2 3＝32. ∵ A ＝ 30176。 且 a ＜ b ， ∴ B ＝ 60176。 或 12 0176。 . ∴ 当 B ＝ 60176。 时， C ＝ 90176。 ， △ ABC 为直角三角形， S △ ABC ＝12ab ＝ 6 3 . ∴ 当 B ＝ 120176。 时， C ＝ 30176。 ， △ ABC 为等腰三角形 ． S △ ABC ＝12absin C ＝ 3 3 . 三角形形状的判定 在△ ABC中， a、 b、 c分别表示三个内角 A、 B、 C的对边，如果 (a2＋ b2)sin(A－ B)＝ (a2－ b2)sin(A＋ B)，判断三角形的形状． 【 思路点拨 】 分别以 a2和 b2为同类项整理已知条件 → 展开 sin ( A ＋ B ) 和 sin ( A － B ) → 转化为边或角的关系求解 → 得三角形形状 【 自主解答 】 方法一： 由已知得 a2[sin(A－ B)－ sin(A＋ B)] ＝ b2[－ sin(A＋ B)－ sin(A－ B)]， ∴ 2a2cosAsinB＝ 2b2cosBsinA. 由正弦定理，得 sin2AcosAsinB＝ sin2BcosBsinA， ∴ sinAsinB(sinAcosA－ sinBcosB)＝ 0， ∴ sin2A＝ sin2B，由 0＜ A＋ B＜ π ， 得 2A＝ 2B或 2A＝ π － 2B， 即△ ABC是等腰三角形或直角三角形． 方法二：同方法一可得 2a2cosAsinB＝ 2b2cosBsinA， 由正、余弦定理，即得 a 2 b b2 ＋ c 2 － a 22bc ＝ b2 a a2 ＋ c 2 － b 22ac ， • ∴ a2(b2＋ c2－ a2)＝ b2(a2＋ c2－ b2)， • 即 (a2－ b2)(c2－ a2－ b2)＝ 0， • ∴ a＝ b或 c2＝ a2＋ b2， • 故△ ABC为等腰三角形或直角三角形． 【 方法点评 】 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋ B＋ C＝ π 这个结论． 2．已知方程 x2－ (bcosA)x＋ acos B＝ 0的两根之积等于两根之和， a， b为△ ABC的两边， A， B为两内角，试判断这个三角形的形状． 【 解析 】 方法一：设方程的两根为 x1， x2，由韦达定理知：x1＋ x2＝ bcos A， x1x 2＝ acos B. 依题意，得 bcos A＝ acos B. 由余弦定理，得 b b2 ＋ c 2 － a 22bc ＝ aa 2 ＋ c 2 － b 22ac . 所以 b2＋ c2－ a2＝ a2＋ c2－ b2，即 2b2＝ 2a2，即 a＝ b， 所以△ ABC是等腰三角形． 方法二：设方程的两根 x1， x2，由韦达定理及题意，得 bcos A ＝ a cos B ， 由正弦定理 ，得 2Rsin Bcos A＝ 2Rsin Acos B， 即 sin Acos B－ cos Asin B ＝ 0， sin (A－ B)＝ 0. ∵ A， B为△ ABC的内角， ∴ 0＜ A＜ π ， 0＜ B＜ π ， ∴ － π ＜ A－ B＜ π . ∴ A－ B＝ 0，即 A＝ B，故△ ABC是等腰三角形． 解三角形的实际应用 在海岸 A处，发现北偏东 45176。 方向，距 A处 ( ) n mile 的。