高三数学棱柱和棱锥的概念和性质

高三数学棱柱和棱锥的概念和性质内容摘要：

特殊梯形的使用等，其次还要注意各种平行与垂直之间的相互转化，如将线线平行转化为线面平行或面面平行来解决． 1 ． (2 008 年安徽 ) 如图所示，在四棱锥 O — ABC D 中，底面ABCD 是边长为 1 的菱形，∠ ABC ＝π4， OA ⊥ 底面 ABCD ，OA ＝ 2 ， M 为 OA 的中点， N为 BC 的中点． • (1)证明：直线 MN∥ 平面 OCD； • (2)求异面直线 AB与 MD所成角的大小； • (3)求点 B到平面 OCD的距离． • 【 解析 】 (1)证明：取 OB中点 E，连接 ME， NE • ∵ ME∥ AB， AB∥ CD • ∴ ME∥ CD • 又 ∵ NE∥ OC • ∴ 平面 MNE∥ 平面 OCD • ∴ MN∥ 平面 OCD. (2 ) ∵ CD ∥ AB ， ∴∠ M D C 为异面直线 AB 与 MD 所成的 角 ( 或其补角 ) ． 作 AP ⊥ CD 于点 P ，连结 MP ， ∵ OA ⊥ 平面 AB CD ， ∴ CD ⊥ MP . ∵∠ ADP ＝π4， ∴ DP ＝22， ∵ MD ＝ MA2＋ AD2＝ 2 ， ∴ cos ∠ MDP ＝DPMD＝12， ∠ MDC ＝ ∠ MDP ＝π3. ∴ AB 与 MD 所成角的大小为π3. (3) ∵ AB ∥ 平面 OC D ， ∴ 点 B 和点 A 到平面OCD 的距离相等，连结 OP ，过点 A 作AQ ⊥ OP 于点 Q . ∵ AP ⊥ CD ， OA ⊥ CD ， ∴ CD ⊥ 平面 OAP ， ∵ AQ ⊂ 平面 OA P ， ∴ AQ ⊥ CD . 又 ∵ AQ ⊥ OP ， ∴ AQ ⊥ 平面 OC D ，线段 AQ的长就是点 A 到平面 OC D 的距离． ∵ OP ＝ OD2－ DP2＝ OA2＋ AD2－ DP2＝4 ＋ 1 －12 ＝3 22， AP ＝ DP ＝22， ∴ AQ ＝OA APOP＝2223 22＝23. ∴ 点 B 到平面 OCD 的距离为23. 棱柱、棱锥中的角与距离 在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ＝ AB＝ AC ＝ 4 ， ∠ BAC ＝ 90176。 ， D 为侧面ABB 1 A 1 的中心， E 为 BC 的中点． (1) 求证：平面 DB 1 E ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ； (2) 求异面直线 A 1 B 与 B 1 E 所成的角； (3) 求点 C 1 到平面 DB 1 E 的距离． 【思路点拨】 (1) AE ⊥ BC ， AE ⊥ BB1AE ⊥平面 BCC1B1平面 DB1E ⊥ 平面 BCC1B1 (2) 作出异面直线所成角 利用余弦定理求角得异面直线所成角 (3) 作 C1H ⊥ B1E 于 H △ B1HC1∽△ EBB1C1HBB1＝B1C1B1E求出 C1H 得点 C1到平面 DB1E 的距离 【解析】 (1 ) 证明：连结 AE . ∵ AB ＝ AC ，且 E 为 BC 的中点， ∴ AE ⊥ BC ， ∵ BB1⊥ 平面 ABC ， ∴ AE ⊥ BB1， ∵ BC ∩ BB1＝ B ， ∴ AE ⊥ 平面 BCC1B1， ∵ AE ⊂ 平面 DB1E ， ∴ 平面 DB1E ⊥ 平面 BCC1B1. (2 ) 取 AE 中点 F ，连结 DF 、 BF . ∵ D 是 AB1的中点 ∴ DF ∥ B1E ∴∠ BDF 是 A1B 和 B1E 所成角． 在 △ BDF 中 BF ＝ BE2＋ EF2＝ 10 DB ＝12A1B ＝ 2 2 DF ＝ 22＋ ( 2 )2＝ 6 ∴ cos ∠ BDF ＝( 2 2 )2＋ ( 6 )2－ ( 10 )22 2 2 6 ＝112＝36 (3 ) 作 C1H ⊥ B1E 于 H ， ∵ 平面 DB1E ⊥ 平面 BCC1B1， C1H ⊂ 平面 BCC1B1， ∴ C1H ⊥ 平面 DB1E ， ∴ C1H 的长即为点 C1到平面 DB1E 的距离． ∵△ B1HC1∽△ EBB1， ∴C1HBB1＝B1C1B1E， ∴ C1H ＝B1C1B1E BB1。