高三数学填空题的解题方法与技巧

高三数学填空题的解题方法与技巧内容摘要：

=| x | 与 y = s in x 的图象： 根据图象可得不等式的解集为： 2π2ππ),( π)π,()ππ,( 2202 π),( π)π,()ππ,( 2202 题型四 等价转化法 将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语 言或容易求解的模式．通过转化，使问题化繁为简、化陌 生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出 正确的结果． 例 6 设函数 f ( x ) ＝ x2－ 4 x ＋ 6 ， x ≥ 03 x ＋ 4 ， x 0，若互不相等的实 数 x1， x2， x3满足 f ( x1) ＝ f ( x2) ＝ f ( x3) ，则 x1＋ x2＋ x3的取值 范围是 ________ ． 思维启迪 将问题转化为 y ＝ m 与 y ＝ f ( x ) 有三个不同的交点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围． 解析 本题可转化为直线 y ＝ m 与函数 f ( x ) 的图象有三个交点 , y ＝ x2－ 4 x ＋ 6 在 [0 , ＋ ∞ ) 的最小值为 f ( 2) ＝ 2 ，故 2 m 4 ，易知 x1, x2， x3中必有一负二正，不妨设 x1， x20 ，由于 y ＝ x2－ 4 x ＋ 6 的对称轴为 x ＝ 2 , 则 x1＋ x2＝ 4 ， 令 3 x ＋ 4 ＝ 2 ，得 x ＝－23，则－23 x30 ，故 －23＋ 4 x1＋ x2 ＋ x30 ＋ 4 ，即 x1＋ x2＋ x3的取值范围是 (103， 4) ． 答案 ( 103 ， 4) 探究提高 等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化的目标．本题转化的关键就是将研究 x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 的取值范围问题转化成了直线 y ＝ m 与曲线 y ＝ f ( x ) 有三个交点的问题，将数的问题转化成了形的问题，从而利用图形的性质解决． 变式训练 6 已知关于 x 的不等式ax － 1x ＋ 10 的解集是 ( － ∞ , － 1) ∪ ( －12 ，＋ ∞ ) ，则 a 的值为 ________ ． 解析 将ax － 1x ＋ 10 转化为 ( x ＋ 1) ( ax － 1) 0 , 其解集是 ( － ∞ ,－ 1) ∪ ( －12，＋ ∞ ) ，当且仅当 x ＝－12是方程 ax － 1 ＝ 0 的解，得 a ＝－ 2. － 2 题型五 构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性 构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复 杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基 本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括， 积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵 感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型， 使问题快速解决． 例 7 函数 f ( x ) ＝2 s in ( x ＋π4) ＋ 2 x2＋ x2 x2＋ c os x的最大值为 M ，最小值 为 m ，则 M ＋ m ＝ ________. 思维启迪 直接求 f ( x ) 的最大值、最小值显然不可取． 化简 f ( x ) ＝ 1 ＋x ＋ s i n x2 x2＋ c os x，构造新函数 g ( x ) ＝x ＋ s i n x2 x2＋ c os x利用 g ( x ) 的奇偶性求解． 解析 根据分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式， f ( x ) ＝ 1 ＋x ＋ s i n x2 x2＋ c os x， f ( x ) － 1 为奇函数， 则 m － 1 ＝－ ( M － 1) ， ∴ M ＋ m ＝ 2. 2 探究提高 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用．注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解． 变式训练 7 已知函数 f ( x ) ＝ s in x c o s x ＋s in xc o s x ＋ 3 ，若 f ( l g a ) ＝ 4 ，则 f ( lg 1a ) 的值等于 ________ ． 解析 f ( x ) ＝ s i n x c o s x ＋s i n xc o s x＋ 3 ＝12s i n 2 x ＋ ta n x ＋ 3 ，若 令 g ( x ) ＝12s i n 2 x ＋ ta n x ，则 g ( x ) 是一个奇函数．由 f ( lg a ) ＝ 4 , 得 g ( lg a ) ＋ 3 ＝ 4 , ∴ g ( lg a ) ＝ 1. 于是 g ( lg 1a) = g ( － lg a ) ＝－ g ( lg a ) ＝－ 1 ，故 f ( lg 1a) ＝ g ( lg 1a) ＋ 3 ＝－ 1 ＋ 3 ＝ 2. 2 例 8 已知 a 、 b 是正实数，且满足 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ，则 a ＋ b 的取 值范围是 _ __ _______ ． 思维启迪 考虑到已知条件中出现了两个正数 a 和 b 的乘积ab 以及和 a ＋ b ，可与一元二次方程的根联系起来构造方程进行求解． 解析 ∵ a 、 b 是正实数且 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ， 故 a 、 b 可视为一元二次方程 x2－ mx ＋ m ＋ 3 ＝ 0 的两个根， 其中 a ＋ b ＝ m ， ab ＝ m ＋ 3. 要使方程有两个正根，应有 Δ ＝ m2－ 4 m － 12 ≥ 0 ，m 0 ，m ＋ 3 0 ， 解得 m ≥ 6 ，即 a ＋ b ≥ 6 ，故 a ＋ b 的取值范围是 [6 ，＋ ∞ ) ． [6，＋ ∞ ) 变式训练 8 若抛物线 y ＝－ x 2 ＋ ax － 2 总在直线 y ＝ 3 x － 1 的下 方，则实数。