高三数学平面向量的基本定理

高三数学平面向量的基本定理内容摘要：

且BLBC＝ l ，CMCA＝ m ，ANAB＝ n ， 若 AL→ ＋ BM→ ＋ CN→ ＝ 0. 求证 ： l ＝ m ＝ n. 【 证明 】 设 BC→＝ a ， CA→＝ b 为基底，由已知得 BL ＝ l a ， CM→＝ m b . ∵ AB→＝ AC→＋ CB→＝－ a － b ， ∴ AN→＝ n AB→＝－ n a － n b AL→＝ AB→＋ BL→＝ (l － 1) a － b ① BM→＝ BC→＋ CM→＝ a ＋ m b ② CN→＝ CA→＋ AN→＝－ n a ＋ (1 － n) b ③ 将 ①②③ 代入 AL→＋ BM→＋ CN→＝ 0 ， 得 (l － n) a ＋ (m － n) b ＝ 0. ∴l ＝ m ＝ n. 已知 A(－ 2,4)， B(3，－ 1)， C(－ 3，－ 4)． 平面向量的坐标运算 设 AB→ ＝ a ， BC→ ＝ b ， CA→ ＝ c ， 且 CM→ ＝ 3 c ， CN→ ＝－ 2 b ， (1)求： 3a＋ b－ 3c； (2)求满足 a＝ mb＋ nc的实数 m， n； (3)求 M、 N的坐标及向量 的坐标． 【 思路点拨 】 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解． 【 自主探究 】 由已知得 a＝ (5，－ 5)， MN→b＝ (－ 6，－ 3)， c＝ (1,8)． (1)3a＋ b－ 3c ＝ 3(5，－ 5)＋ (－ 6，－ 3)－ 3(1,8) ＝ (15－ 6－ 3，－ 15－ 3－ 24) ＝ (6，－ 42)． (2)∵ mb＋ nc＝ (－ 6m＋ n，－ 3m＋ 8n)＝ (5，－ 5)， ∴  － 6m ＋ n ＝ 5－ 3m ＋ 8n ＝－ 5 ，解得  m ＝－ 1n ＝－ 1 . ( 3 ) ∵ CM→＝ OM→－ OC→＝ 3 c ， ∴ OM→＝ 3 c ＋ OC→＝ (3 , 2 4 ) ＋ ( － 3 ，－ 4) ＝ (0 , 20) ． ∴ M ( 0 , 2 0 ) ． 又 ∵ CN→＝ ON→－ OC→＝－ 2 b ， ∴ ON→＝－ 2 b ＋ OC→＝ (12 , 6) ＋ ( － 3 ，－ 4) ＝ (9 , 2) ， ∴ N ( 9 , 2) ． ∴ MN→＝ (9 ，－ 1 8 ) . 【 方法点评 】 、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用． 2．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 2．已知 O(0,0)、 A(1,2)、 B(4,5)及 .试问： (1)t为何值时， P在 x轴上。 在 y轴上。 P在第二象限。 (2)OABP能否成为平行四边形。 若能，求出相应的 t值；若不能，请说明理由． 【 解析 】 利用向量相等建立向量的坐标间的关系，再由条件求出． (1)∵ O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)， OP→ ＝ OA→ ＋ t AB→ ∴ OA→＝ (1 , 2) ， AB→＝ (3 , 3) ， OP→＝ OA→＋ t AB→＝ (1 ＋ 3t , 2 ＋ 3 t ) ． 若 P 在 x 轴上，则 2 ＋ 3t ＝ 0 ，解得 t ＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1 ＋ 3t ＝ 0 ，解得 t ＝－13； 若 P 在第二象限，则 1 ＋ 3 t 02 ＋ 3 t 0。