高三数学直线和平面平行

高三数学直线和平面平行内容摘要：

定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线来证明两平面平行． (3 ) 利用面面平行的传递性： α ∥ βγ ∥ β⇒α ∥ γ . (4 ) 利用线面垂直的性质： α ⊥ lβ ⊥ l⇒ α ∥ β . 1 ．如图所示，在正方体ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中，其棱长为 1. 求证：平面 AB 1 C ∥ 平面A 1 C 1 D ； 【证明】 方法一 ：连结 AC ， AB1， A1C1， C1D 得 平面 AB1C ， A1C1D ， AA1綊 BB1BB1綊 CC1⇒ AA1綊 CC1⇒ 四边形 AA1C1C 为平行四边形 ⇒ AC ∥ A1C1 ⇒ AC ∥ 平面 A1C1D同理 AB1∥ 平面 A1C1DAC ∩ AB1＝ A⇒ 平面 AB1C ∥ 平面 A1C1D1. 方法二 ：如图易知 AA1和 CC1确定一个平面AC1，于是 平面 AC1∩ 平面 A1C1＝ A1C1平面 AC1∩ 平面 AC ＝ AC平面 A1C1∥ 平面 AC⇒ A1C1∥ AC ⇒ A1 C 1 ∥ 平面 AB 1 C同理 A 1 D ∥ 平面 AB 1 CA 1 C 1 ∩ A 1 D ＝ A 1⇒ 平面 AB 1 C ∥ 平面 A 1 C 1 D . 方法三： 如图连结 BD BD . AC ⊥ BDD1D ⊥ 平面 AC⇒ BD1⊥ AC同理 B1D ⊥ AB1AC ∩ AB1＝ A⇒ BD1⊥ 平面 AB1C同理 B1D ⊥ 平面 A1C1D⇒ 平面 AB1C ∥ 平面 A1C1D . 两平面平行的性质 • 已知，平面 α∥ 平面 β， AB、 CD夹在α、 β之间， A、 C∈ α， B、 D∈ β， E、F分别为 AB、 CD的中点， • 求证： EF∥ α， EF∥ β. • 【 思路点拨 】 通过作辅助平面，利用面面平行得到线线平行，再证线面平行． 【证明】 当 AB 和 CD 共面时，经过 AB 、CD 的平面与 α 、 β 分别交于 AC 、 BD . ∵ α ∥ β ， ∴ AC ∥ BD . 又 ∵ AE ＝ EB ， CF ＝ FD ， ∴ EF ∥ AC . ∵ AC ⊂ α ， EF ⊄ α ， ∴ EF ∥ α ， 同理 EF ∥ β . 当 AB 和 CD 异面时，如图在 CD 与 E 所确定的平面内，过点 E 作 C ′ D ′∥ CD 与 α 、β 分别交于点 C ′ 、 D ′ . 经过相交直线 AB 和 C ′ D ′ 作平面分别交α 、 β 于 AC ′ 、 BD ′ . ∵ α ∥ β ， ∴ AC ′∥ BD ′ ，又 AE ＝ EB ， ∴ C ′ E ＝ ED ′ . ∵ C ′ D ′∥ CD ， ∴ 经过 C ′ D ′ 和 CD 作平面与 α 、 β 分别交于 C ′ C 和 D ′ D . ∵ α ∥ β ， ∴ C ′ C ∥ D ′ D . 在平面四边形 C ′ D ′ DC 中， ∵ C ′ E ＝ ED ′ ， CF ＝ FD ， ∴ EF ∥ D ′ D . ∵ D ′ D ⊂ β ， EF ⊄ β ， ∴ EF ∥ β ，同理 EF ∥ α . • 平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如图 • 性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据． • 2．如图所示，平面 α∥ 平面 β，点 A∈ α， C∈ α，点B∈ β， D∈ β，点 E， F分别在线段 AB， CD上，且AE∶ EB＝ CF∶ FD. • (1)求证： EF∥ β；。