高三数学圆及直线与圆的位置关系

高三数学圆及直线与圆的位置关系内容摘要：

标为 ( a ， b ) ， 因为圆 O 与圆 Q 相外切于 P ， 所以 O 、 P 、 Q 共线，且 λ ＝OP＝－64＝－32. 由定比分点公式求得 a ＝－ 3 ， b ＝ 3 3 . 所以所求圆的方程为 ( x ＋ 3)2＋ ( y － 3 3 )2＝ 1 6 . (2 ) 如图，因为圆周被直线 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0 分成 1 ∶ 2 两部分， 所以 ∠ AO B ＝ 1 2 0 176。 ， 而圆心到直线 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0 的距离 d ＝1532＋ 42＝ 3 ， 在 △ AO B 中，可求得 OA ＝ 6 ，所以所求圆的方程为 x2＋ y2＝ 3 6 . (3 ) 由题意可设圆的方程为 λ ( x2＋ y2－ 4 x ＋ 2 y ) ＋( x2＋ y2－ 2 y － 4) ＝ 0 ， 即 (1 ＋ λ ) x2＋ (1 ＋ λ ) y2－ 4 λx ＋ (2 λ － 2) y － 4 ＝ 0 ， 圆心坐标为 (2 λ1 ＋ λ，1 － λ1 ＋ λ) ， 代入 l ： 2 x ＋ 4 y ＝ 1 ，得 λ ＝ 3. 所以所求圆的方程为： x2＋ y2－ 3 x ＋ y － 1 ＝ 0. 直线和圆的位置关系 已知圆 x2＋ y2－ 6 mx － 2( m － 1) y ＋ 10 m2－ 2 m－ 24 ＝ 0( m ∈ R ) ． (1 ) 求证 ： 不论 m 为何值 ， 圆心在同一直线 l上 ； (2 ) 与 l 平行的直线中 ， 哪些与圆相交 、 相切 、 相离。 (3 ) 求证 ： 任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等 ． 【 思路点拨 】 用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去 m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离 d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长． 【自主解答】 ( 1 ) 证明：配方得： ( x － 3 m )2＋ [ y － ( m － 1) ]2＝ 25 ， 设圆心为 ( x ， y ) ，则 x ＝ 3 my ＝ m － 1，消去 m 得 l ： x － 3 y － 3 ＝ 0 ，则圆心恒在直线 l ： x －3 y － 3 ＝ 0 上 ． (2 ) 设与 l 平行的直线是： x － 3 y ＋ b ＝ 0 ， 当－ 5 10 － 3 ＜ b ＜ 5 10 － 3 时，直线与圆相交； b ＝ 177。 5 10 － 3 时，直线与圆相切； b ＜－ 5 10 － 3 或 b ＞ 5 10 － 3 时，直线与圆相离 ． (3 ) 证明：对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1： x － 3 y ＋ b ＝ 0 ，由于圆心到直线 l1的距离 d ＝|3 ＋ b |10( 与 m 无关 ) ， 弦长＝ 2 r2－ d2且 r 和 d 均为常量 ． ∴ 任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等 ． 直线和圆的位置关系的判定有两种方法： (1 ) 第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成 方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式 Δ 来讨论位置关系，即 Δ ＞ 0 ⇔ 直线与圆相交； Δ ＝ 0 ⇔ 直线与圆相切； Δ ＜ 0 ⇔ 直线与圆相离 ． (2 ) 第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较来判断，即 d ＜ r ⇔ 直线与圆相交； d ＝ r ⇔ 直线与圆相切； d ＞ r ⇔ 直线与圆相离 ． 1 ． 已知圆的方程是 x2＋ y2＝ 2 ， 直线 y ＝ x ＋ b ，当 b 为何值时 ， (1 ) 圆与直线有两个公共点 ； (2 ) 只有一个公共点 ； (3 ) 没有公共点。 【解析】 方法一 ： 圆心 O (0 , 0) 到直线 y ＝ x＋ b 的距离为 d ＝| b |2， (1 ) 当 d ＜ r ，即| b |2＜ 2 ，－ 2 ＜ b ＜ 2 时，直线与圆相交，有两个公共点 ． (2 ) 当 d ＝ r 时，即 b ＝ 177。 2 时，直线与圆相切，有一个公共点； (3 ) 当 d ＞ r ，即 b ＞ 2 或 b ＜－ 2 时，直线与圆相离，无公共点 ． 方法二： 联立两个方程得方程组 x2＋ y2＝ 2y ＝ x ＋ b， 消去 y 得， 2 x2＋ 2 bx ＋ b2－ 2 ＝ 0 ， Δ ＝ 16 － 4 b2. (1 ) 当 Δ ＞ 0 ，即－ 2 ＜ b ＜ 2 时，有两个公共点； (2 ) 当 Δ ＝ 0 ，即 b ＝ 177。 2 时，有一个公共点； (3 ) 当 Δ ＜ 0 ，即 b ＞ 2 或 b ＜－ 2 时无公共点 ． 圆与圆的位置关系 已知圆 M ： x2＋ y2－ 2 mx － 2 ny ＋ m2－ 1 ＝ 0与圆 N ： x2＋ y2＋ 2 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0 交于 A 、 B两点 ， 且这两点平分圆 N 的圆周 ， 求圆 M的圆心的轨迹方程 ， 并求其中半径最小时圆 M 的方程 ． 【 思路点拨 】 先由两圆方程求出直线 AB的方程，则由题意知 AB过 N的圆心，半径最小可转化为圆心到。