高三数学三角形中的几何计算

高三数学三角形中的几何计算内容摘要：

值，在△ BCD中，由余弦定理可求出 BD，进而解△ ABD，求出 AB来． • 解析： 设四个角 A、 ∠ ABC、 C、 ∠ ADC的度数分别为 3x、 7x、 4x、 10x(x0)，则 3x＋7x＋ 4x＋ 10x＝ 360176。 ，解得 x＝ 15176。 . • ∴ A＝ 45176。 ， ∠ ABC＝ 105176。 ， C＝ 60176。 ，∠ ADC＝ 150176。 . • 连结 BD，在 △ BCD中，由余弦定理，得 • BD2＝ BC2＋ CD2－ 2BCCDcosC • ＝ a2＋ 4a2－ 2a2a ＝ 3a2. ∴ BD ＝ 3 a ，此时 BC2＋ BD2＝ CD2， ∴△ C BD 为直角三角形， ∴∠ C BD ＝ 90176。 . 在 △ ABD 中， A ＝ 45176。 ， ∠ ADB ＝ 120176。 ， 由正弦定理知，ABsin ∠ ADB＝BDsin A， ∴ AB ＝BD sin ∠ ADBsin A＝3 22a . ∴ AB 的长度为3 22a . • [例 2] 如图，已知在四边形ABCD中， AD⊥ CD， AD＝ 10，AB＝ 14， ∠ BDA＝ 60176。 ，∠ BCD＝ 135176。 ，求 BC的长． • 分析： 在△ ABD中，已知两边和其中一边的对角，用正弦定理可求出另一边的对角，但得不到其与△ BCD的联系，可再考虑用余弦定理求出 BD，其恰好是两个三角形的公共边，这样可在△ BCD中应用正弦定理求 BC. • 解析： 在 △ BAD中，由余弦定理，得 • AB2＝ BD2＋ AD2－ 2BDADcos∠ BDA. • 设 BD＝ x，则 142＝ x2＋ 102－2 10xcos60176。 ， • ∴ x2－ 10x－ 96＝ 0， • ∴ x1＝ 16， x2＝－ 6(舍去 )，即 BD＝ 16. • 在 △ BDC中，由正弦定理，得 • [变式训练 2] 如图，在四边形 ABCD中，∠ ABC＝ ∠ ADC＝ 90176。 ， ∠ BAD＝ 60176。 ，AB＝ 4， AD＝ 5，求 AC的长． • 分析： 由 ∠ ABC＝ ∠ ADC＝ 90176。 知， A、 B、C、 D四点共圆，因此 AC为四边形 ABCD的外接圆的直径，于是可利用余弦定理求出BD，然后利用正弦定理的变式求出 AC. 解析： 连结 AC 、 BD . 在 △ ABD 中，由余弦定理，得 BD2＝ AD2＋ AB2－ 2 AD AB c os ∠ DA B ＝ 52＋ 42－ 2 5 4 c os60176。 ＝ 21 ， ∴ BD ＝ 21 . 依题意， A 、 B 、 C 、 D 四点共圆， AC 为其直径， 由正弦定理知， AC ＝ 2 R ＝BDsin ∠ BAD＝ 2 7 . [ 例 3] ( 2020 浙江 ) 已知 △ ABC 的周长为 2 ＋ 1 ，且 sin A ＋ sin B ＝ 2 sin C . ( 1) 求边 AB 的长； ( 2) 若 △ ABC 的面积为16sin C ，求角 C 的度数． • 分析： 根据条件可知，要想求边，则必须将角的关系用正弦定理化为边的关系来处理，求角则一般考虑余弦定理． 解析： (1) 由题意及正弦定理，得 AB ＋ BC ＋ AC ＝ 2 ＋ 1 ， BC ＋ AC ＝ 2 AB ，两式相减，得 AB ＝ 1. (2) 由 △ ABC 的面积12BC AC sin C ＝16sin C 得 BC 1。