高一数学函数的图像

高一数学函数的图像内容摘要：

变式探究 21 ： ( 2 0 0 9 年高考安徽卷 ) 设 a b ， 函数 y ＝ ( x － a )2( x － b ) 的图象可能是 ( ) 解析： 当 xb时 ， (x－ a)20， x－ b0， ∴ y＝ (x－ a)2(x－ b)0， 即在区间 (b， ＋ ∞)上函数图象在 x轴上方； 当 xb时 ， (x－ a)2≥0， x－ b0， ∴ y＝ (x－ a)2(x－ b)≤0， 图象在 x轴下方 ， 据此可知只有 C选项符合题意 ． 故选 C. 函数图象的应用 【 例 3】 已知函数 f(x)＝ x|m－ x|(x∈ R)， 且 f(4)＝ 0. (1)求实数 m的值； (2)作出函数 f(x)的图象； (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式 f(x)0的解集 ． 思路点拨： 利用 f(4)＝ 0易得 m的值 ， 此时函数 f(x)可化为分段形式 ， 利用描点法作出其图象 ， 然后根据图象写出 f(x)的单调区间和 f(x)0的解集 ． 解： ( 1 ) ∵ f ( 4 ) ＝ 0 ， ∴ 4| m － 4| ＝ 0 ， 即 m ＝ 4. ( 2 ) f ( x ) ＝ x |x － 4| ＝ x  x － 4  ＝  x － 2 2－ 4 ， x ≥ 4 ，－ x  x － 4  ＝－  x － 2 2＋ 4 ， x 4 . f ( x ) 的图象如图所示 ： ( 3 ) f ( x ) 的减区间是 [ 2 , 4 ] ． ( 4 ) 由图象可知 ， f ( x ) 0 的解集为 { x | 0 x 4 或 x 4 } ． 函数的图象形象直观地显示了函数的性质 ， 所以通常用函数图象研究函数的最值 、 单调区间 、 交点个数和含参数的方程或不等式的解集等问题 ， 体现了数形结合的数学思想 ． 利用函数的图象解题时 ， 画函数的图象尤为重要 ， 所作图象力求体现函数的基本特征 ， 如关键点 、 对称性 、 最值等 ， 避免画图粗糙造成不准确的判断 ． 变式探究 31： (2020年安庆联考 )已知关于 x的方程 |x|＝ ax＋ 1有一个负根 ， 但没有正根 ，则实数 a的取值范围是 ____________． 解析： 令 f ( x ) ＝ |x |， g ( x ) ＝ ax ＋ 1 ，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示，由图可以看出，直线 y ＝ ax ＋ 1 应以 y ＝ x ＋ 1 为基础逆时针旋转才能保证方程 |x |＝ ax ＋ 1 有一个负根，而没有正根，故 a ≥ 1. 答案： [ 1 ，＋ ∞ ) 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年高 考山东卷 ) 函数 y ＝ 2 x － x 2 的图象大致是 ( ) 解析： 当 x＜ 0时 ， 函数 f(x)＝ 2x－ x2单调递增 ， 故排除 C、 D， 又 f(2)＝ f(4)＝ 0， 故选 A. 【 例 2】 (2020年高考湖南卷 )用 min{a， b}表示 a， b两数中的最小值 ． 若函数 f(x)＝min{|x|， |x＋ t|}的图象关于直线 x＝－对称 ， 则 t的值为 ( ) (A)－ 2 (B)2 (C)－ 1 (D)1 解析： 由题意作出 y ＝ |x |与 y ＝ |x ＋ t |的图象，如图所示 ( 实线部分 ) ． ∵ 关于 x ＝－12对称， ∴－ t＋ 02＝－12， ∴ t＝ 1 ，故选 D. 错源：作函数图象粗糙 【 例题 】 若直线 y＝ 2a与函数 y＝ |ax－ 1|(a＞ 0且 a≠1)的图象有 2个公共点 ， 求 a的取值范围 ． 错解： 在同一坐标系中分别作出 y ＝ 2 a 与 y ＝ |ax－ 1| ( a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 的 图象 ( 分 0 ＜ a ＜ 1 和a ＞ 1 ) ． 由图得出 a ∈ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 ，＋ ∞。