信息与通信]基于状态观测器的线性不确定系统鲁棒控制器设计

信息与通信]基于状态观测器的线性不确定系统鲁棒控制器设计内容摘要：

制精度的要求越来越高，时滞已经不能在分析设计时加以忽略，而是要建立明确的时滞微分方程以作为更为精确的数学模型。 因而时滞系统的研究不仅仅在于理论上巨大意义，还在于实际控制系统设计和应用的迫切需要。 鲁棒控制自提出以来，很快受到了人们的广泛重视和研究，取得了一系列的研究结果和方法，并在一些工程领域中获得了成功的应用。 总的来说，不确定性问题、鲁棒控制问题、时滞 系统的控制问题以及鲁棒 H 问题一直是近二十年来控制界和实际系统应用中的热点和难点问题。 它们之间的结合所产生的更为复杂更具有综合性问题不仅具有丰富的实际应用背景，更具有很高的理论价值。 特别地，随着线性矩阵不等式及求解凸优化问题的内点法的提出，为许多控制问题的分析和求解提供了有效工具。 Matlab 软件中线性矩阵不等式工具箱的推出使得各种线性矩阵不等式问题的求解更加方便、直接，从而，进一步推动了线性矩阵不等式处理方法在系统和控制领域中的应用。 本文的研究内容及安 排 本文主要研究基于状态观测器的不确定系统的鲁棒控制器设计，分别针对线性不确定系统、线性时滞不确定系统 设计 鲁棒控制器，同时还运用 Lyapunov 稳定性理论证明了在上述控制器作用下的闭环系统是稳定的，最后用 Matlab 的 LMI 工具箱很方便的给出了控制器的解， 并 用 Simulink 对实际系统进行了仿真试验，仿真结果表明上述控制器不仅能够达到较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性。 本文研究了基于状态观测器的鲁棒控制器设计、线性系统、线性时滞系统、稳定性分析以及在观测器设计过程中 LMI 参数选择的研究。 全文共分 为 四 章： 第一章为绪论，简要介绍系统不确定性、鲁棒控制的起源和发展以及线性矩阵不等式的发展。 第二章介绍了状态观测器 、线性矩阵不等式 、 Lyapunov 稳定性理论的相关知识。 第三章是基于状态观测器的线性不确定系统的鲁棒控制器设计 ，并验证所 得结论。 第四章是基于状态观测器的线性时滞不确定系统的鲁棒控制器设计 ，并验证所的结论。 8 第 2 章 预备知识 状态观测器 状态观测器就是 根据系统的外部变量 (输入变量和输出变量 )的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统，也称为状态重构器。 60 年代初期，为了对控制 系统实现状态反馈或其他需要， 、 等人提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。 状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。 在现代控制理论中，利用状态反馈可以对 系统的极点任意配置，从而实现对系统的稳定性能的改进、给定信号的渐进跟踪、解耦问题等。 可以说状态反馈理论在现代控制理论中具有十分重要的作用，但是状态反馈实现的前提是系统的所有状态都 是可测的，对于状态不可测系统，解决问题的方法之一就是基于原系统构造一个全维或降维状态观测器，以获得状态变量的估值。 基于观测器的状态反馈系统包含了两个系统：观测器系统和状态反馈系统。 为了实现状态反馈，需要系统全部的状态变量。 但在实际系统中，大部分状态变量很难直接测量到。 因此，为了实现状态反馈控制，需要通过一个模型，利用已知的信息对系统状态变量进行估计。 这样，可以构造一个与已知实际系统{A,B,C}具有同样动态方程的模拟系统，用模拟系统的状态向量 )(ˆtx 作为实际系统状态向 量 )(tx 的估计值。 因此，控制器可以看成是实际对象的一个实时仿真系统。 它利用控制对象的数学模型和输入变量，采用适当的控制方法，以保证状态观测器的状态可以很快地逼近控制对象的状态。 因而状态观测器的状态又称为实际状态的估计值或者估计状态。 [5] 1. 状态观测器的原理 在一般情况下，系统的输出量 )(ty 与控制输入 )(tu 均为已知，所以希望能从)(ty 与 )(tu 对构造的系统模型来估计出状态向量。 当系统完全可观测时，一定存在状态观测器。 9 对于与广义对象同维的状态观测器，有 Aˆ =Aˆ + uByBx 21ˆˆ  （ ） 其中， nRxˆ 是状态 x 的估计值， 22 21 ˆ,ˆ,ˆ mnpnnn RBRBRA  。 对于降维状态观测器，有 uByBA 21 ˆˆˆ   （ ） yDCx ˆˆ   （ ） 这时 nkpnR k  2, 是降维观测器的状态， 222 ,ˆ,ˆ,ˆ 21 pnknmkpkkk RDRCRBRRA  。 基于状态估计值 xˆ 的状态反馈律为 xFu ˆ （ ） 由（ ）式或（ ）式与（ ）式构成的控制器 K，最终可转化成   kkkk DBCAK 的形式。 对于由（ ）式和（ ）式构成的情况，有 0,ˆ,ˆ,ˆˆ 12  kkkk DFCBBFBAA （ ） 其中 xnn ˆ,  。 对于由（ ）式和（ ）式构成的情况，有 DFDCFCDFBBBCFBAA kkkk ˆ,ˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ 212  （ ） 这时   ,kn。 这样，闭环控制系统中由 w 到 z 的闭环传递函数矩阵由（ ）式和（ ）式来描述。 如果给系统加入某种形式的扰动，则原系统在直接状态反馈下的各项性能指针基本不变，而观测器－状态反馈系统的响应则会发生大幅度的变化，响应的抖动幅度加大，稳态时间变长。 观测的状态变量与实际的状态变量间的误差，只与初始条件有关，与控制变量无关。 只要现时状态观测器是渐进稳定的，不管初始条件如何，随着时间的增长，观测误差总是趋近于零，即观测状态趋向于实际状态。 10 线性矩阵不等式 近十多年来，由于线性矩阵不等式 (LMI)的优良性能以及数学规划和解法的突破，特别是内点法的提出以及 Matlab 软件中 LMI 工具箱的推出， LMI 这一工具越来越受到人们的广泛关注与重视，使其在控制系统的分析和设计方面得到了广泛的重视和应用，成为这一领域的研究热点。 在此之前，绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来表示和求解的。 但是，求解 Riccati 方程或其不等式时，有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整，因而有时即使问题本身是有解的，也不能找出问题的解。 这给实际问题的 解决带来了很大的不便，而 LMI方法可以很好地弥补 Riccati 方程方法的不足，不需要调整任何参数，便可获得问题的解。 [6] 线性矩阵不等式 (LMI)是如下形式： 0)( 110  mm FxFxFxF  () 其中 mxxx , 21  是 m 个实数变量，称为 LMI 的决策变量，而 nTm Rxxx  ),( 1 是由决策变量构成的向量，称为决策向量， nnTii RFF  ， mi ,1,0  是一组给定的实对称矩阵。 （ )式中的不等号“ ”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有非零的向量 0)(,  vxFvRv Tn ，或者 F(x)的最大特征值小于零。 若 F(y)0 和 F(z)0 时，则 0)2( zyF ，所以式（ ）是凸约束。 注意到多个 LMI 可用一个 LMI 表示，即 0)(,0)(,0)( 21  xFxFxF m 等价于 0)}(,),(),({ 21 xFxFxFd ia g m 在许多将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中， 我们常常用到矩阵的 Schur 补性质。 考虑一个矩阵身 nnRS  ，并将 S 进行分块：  2221 1211 SS SSS 其中的 11S 是 r r 维的。 假定 11S 是非奇异的，则 121112122 SSSS  称为 11S 在 S 中的Schur 补。 以下引理给出了矩阵的 Schur 补性质。 11 引理 对给定的对称矩阵  2221 1211 SSSSS ，其中 11S 是 r r 维的。 以下三个条件是等价的： (ⅰ ) 0S。 (ⅱ ) 0,0 12111122211   SSSSS T。 (ⅲ ) 0,0 12122121122   TSSSSS。 对二次非线性矩阵不等式，通过 Schur 补引理可以转化为 LMI，从而推广 LMI 在控制理论研究中的 应用范围，其基本思想是：若0)()()()(,0)(),()(),()(Q 1   xSxRxSxQxRxRxRxQx TTT 则等价于   0)( )()( )( xR xSxS xQT 三种最基本的 LMI 问题是： 1) 可行 性 问题 （ LMIP） ： 对给定的线性矩阵不等式 F(x)0，检验是否存在 x，使得 F(x)0 成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题。 如果存在这样的 x，则该线性矩阵不等式问题是可行的，否则这个线性矩阵不等式就是不可行的。 2) 特征值问题 (EVP)： 该问题是在 — 个线性矩阵不等式约束下，求矩阵 G(x)的最大特征值的最小化问题或确定问题的约束是不可行的。 它的一般形式是： 0)()(..minxHIxGts  () 这样一个问题也可以转化成以下的一个等价问题： 0)(..min xFts xcT () 这也是 LMI 工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式。 问题 ()和问题 ()的相互转化是因为：一方面， 0)(..min xFts xcT 0)(..minxFxcts T  另一方面， 定义      TTTT cxHIxGd ia gxFxx 1,0,)(,)()ˆ(,ˆ   , 则 )ˆ(xF是 xˆ 的一个仿射函数，且问题 ()可以写成： 12 0)ˆ(.. ˆmin xFts xcT 3) 广义特征值最小优化问题： ..mints 0)(,0)(),()(  xCxBxBxA  上述问题框架由于：（ 1）有充分的数值方法可解，如最近发展起来 用于解凸优化问题的内点方法，内点方法是多项式时间的全局最优化方法； （ 2）非常适合于处理不确定性；（ 3）适合处理设计过程的不同目标，如目标的折中、性能限制和可能性分析等；（ 4）非常宽的应用，不仅仅应用于控制与辨识等原因非常吸引人。 [7]在大多数的控制应用中， LMI 不会自然有式（ ）的标准形式，而经常是如下的仿线性形式 L(X ,X , ,X ) R(X ,X , ,X ) 其 中 L(.)和 R(.)是矩阵变量 X ,X , ,X 的仿线性函数。 许多控制问题具有 LMI 形式，其中包括 Lyapunov 型控制分析和设计， LQG 优化控制、 H 控制、方差控制、估计与辨识等。 二十世纪九十年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式再一次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域中。 许多控制问题可以转化成为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题。 由于有了求解凸优化问题的内点法，使得这些问 题可以得到有效的解决。 1995 年， Matlab 推出了求解线性矩阵不等式问题的 LMI工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地来处理、求解线性矩阵不等式系统，进一步推动了线性矩阵不等式方法在系统和控制领域中的应用。 线性矩阵不等式处理方法可以克服 Riccati 方程处理方法中存在的许多不足。 线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解。 正是这种凸约束条件，使得在控制器设计时，得到的不仅仅是一个满足设计方法的控制器，而是从凸约束条件的任意一个可行解都 可以得到的一个控制器，即可以得到满足设计要求的一组控制器。 Lyapunov 稳定性理论 俄国数学家和力学家 1892 年所创立的用于分析系统稳定性的理论。 对于控制系统，稳定性是需要研究的一个基本问题。 在研究线性定常系统时，已有许多判据如代数稳定判据、奈奎斯特稳定判据等可用来判定系统的稳定性。 李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。 李雅普诺夫稳定性理 13 论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫直接法。 李雅普诺夫第二 方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。 对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。 与第二方法相。