圆锥曲线与方程知识点总结

圆锥曲线与方程知识点总结内容摘要：

变式训练 1：根据下列条件，求双曲线方程。 x2y2 有共同渐近线，且过点（ 3， 2）（ 1）与双曲线； 916x2y2 有公共焦点，且过点（ 3， 2） （ 2）与双曲线 164 的渐近线为 解：法一：（ 1）双曲线 9163 4 令 x=3， y=177。 4，因 ，故点（ 3， 2）在射线 （ x≤0）及 x轴负半轴之间， 3 ∴ 双曲线焦点在 x轴上 x2y2 设双曲线方程为 ，（ a0， b0） ab 7 4 解之得： 解之得： k=4 x2y2 ∴ 双曲线方程为 128x2y2x2y2 评注：与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 （ λ≠0），当 λ0时，焦 abab x2y2 点在 x轴上；当 λ0时，焦点在 y轴上。 与双曲线 共焦点的双曲线为 ab y2x222 （ a+k0， bk0）。 比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高 解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例 2 双曲线型自然通风塔的外 形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高 55 标系，求出此双曲线的方程（精确到 1m） . 解：如图 8—17，建立直角坐标系 xOy，使 A 圆的直径 AA′在 x 轴上，圆心与原点重合 .这时 x2y2 ∴ 双曲线方程为 944 x2y2 （ 2）设双曲线方程为 （ a0， b0） ab 则 解之得： x2y2 ∴ 双曲线方程为 128 x2y2 （ λ≠0） 法二：（ 1）设双曲线方程为 916 上、下口的直径 CC′、 BB′平行于 x轴，且 ， 设双曲线的方程 x2y2 为 （ a0,b0）令点 C 的坐标为（ 13， y），则点 B 的坐标为（ 25， y－55） 因为点 B、 C在双曲线上，所以 12b212b ∴ 9161 ∴ 4 x2y2 ∴ 双曲线方程为 944 （ 1） 设双曲线方程为 ∴ 8 （负值舍去） .代入方解方程组 由方程（ 2）得 (2) 5b 252程（ 1）得化简得 19b+275b－ 18150=0 （ 3） ( x2y2 解方程（ 3）得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为： 144625 变式训练 2：一炮弹在某处爆炸，在 A处听到爆炸声的时间比在 B处晚 2 s. （ 1）爆炸点应在什么样的曲线上。 （ 2）已知 A、 B两地相距 800 m，并且此时声速为 340 m/s，求曲线的方程 . 解（ 1）由声速及 A、 B两处听到爆炸声的时间差，可知 A、 B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以 A、 B为焦点的双曲线上 . 因为爆炸点离 A处比离 B处更远， 所以爆炸点应在靠近 B处的一支上 . （ 2）如图 8—14，建立直角坐标系 xOy，使 A、 B两点在 x轴上，并且点 O与线段 AB 的中点重合 . 设爆炸点 P 的坐标为（ x,y），则 即 2a=680,a= ∴2c=800,c=400,b2=c2－ a2=44400. （ 1）解：依题意有： 解得 y2 可得双曲线方程为 3 2 x2y2 ∵ 0,∴ x： 11560044400 (x0). 1 例 中，固定底边 BC，让顶点 A移动，已知 ，且 ，求顶 2 （ 2）解：设 M(x0,y0),由双曲线的对称性 ,可得 设 P(xP,yP),则 2 22 点 A的轨迹方程． 解：取 BC的中点 O为原点， BC所在直线为 x轴，建立直角坐标系，因 为 ，所以， c(2,0)．利用正弦定理，从条件得 ，即 ．由双曲线定义知，点 A的轨迹是 B、 C为焦点，焦距为 4，实轴长为 2，虚轴长为 23的双曲线右支， y2 ． 点 (1， 0)除外，即轨迹方程为 2 12 2y0 又 322 所以 同理 所以 22 x2y2 变式训练 3：已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，两条 ab 准线的距离为 l. （ 1）求双曲线的方程； （ 2）直线 l过坐标原点 O且和双曲线交于两点 M、 N，点 P 为双曲线上异于 M、 N的一点，且直线 PM， PN的斜率均存在，求 kPMkPN的值 . x2 的左、右顶点分别为 A A2，垂直于 x轴的直线 m与双曲例 4. 设双曲线 C： 2 线 C交于不同的两点 P、 Q。 （ 1）若直线 m与 x轴正半轴的交点为 T，且 ，求点 T 的坐标； （ 2）求直线A1P 与直线 A2Q的交点 M的轨迹 E的方程； （ 3）过点 F（ 1， 0）作直线 l与（ Ⅱ ）中的轨迹 E交于不同的两点 A、 B，设 ， 9 若 求 （ T 为（ Ⅰ ）中的点）的取值范围。 解：（ 1）由题，得 ，设 则 由 即 ① 2 x02 又 P(x0,y0)在双曲线上，则 ② 2 x2 故可设直线 l的方程为 ，代入 中，得 2 设 且 则由根与系数的关系，得 ⑤ 20202020 联立 ① 、 ② ，解得 由题意， ∴ 点 T 的坐标为（ 2， 0） …………3 分 （ 2）设直线 A1P 与直线 A2Q的交点 M的坐标为（ x， y） 由 A P、 M三点共线，得 2 . …… ⑥ …………2 分 2 ∵ ∴ 有 ，且 将 ⑤ 式平方除以 ⑥ 式，得 ③ …………1 分 由 A Q、 M三点共线，得 y1y24k214k2 …………1 分 由 ④ …………1 分 联立 ③ 、 ④ ，解得 511 2 . …………1 分 x 分 ∵ ∵ P(x0,y0)在双曲线上， 2 ()2 ∴ 2x 又 故 2 2 2 x2 分 ∴ 轨迹 E的方程为 2 （ 3）容易验证直线 l的斜率 不为 0。 10 288 令 x2y2 所以双曲线 C的方程为。 912 （ 2）由双曲线 C的方程可得 又 所以 △ A1PA2的重点 G（ 2,2） 设直线 l的方程为 代入 C的方程，整理得 12711712 ∴ ，即 7 4。