高三数学极限、导数解答题的解法

高三数学极限、导数解答题的解法内容摘要：

， 对一切 x∈ (0， +∞)， 恒有 F(x)=x , f′(x)＞ 0. 从而当 x＞ 0时 ， 恒有 f′(x)＞ 0， 故 f(x)在 (0， +∞)内单调增加 . 所以当 x＞ 1时 ， f(x)＞ f(1)=0， 即 x－ 1－ ln2x+2alnx＞ 0. 故当 x＞ 1时 ， 恒有 x＞ ln2x－ 2alnx+1. ［ 点评 ］ 本小题主要考查函数导数的概念与计算 ，利用导数研究函数的单调性 、 极值和证明不等式的方法 ，考 查 综 合 运 用有关知识解决问题的能力 . 考题剖析 极限、导数解答题的解法 考题剖析 极限、导数解答题的解法 考题剖析 极限、导数解答题的解法 考题剖析 极限、导数解答题的解法 考题剖析 极限、导数解答题的解法 考题剖析 极限、导数解答题的解法 [点评 ]： 本题涉及到了导数公式的逆向考查，这就要求在平时的教学中要注重逆向思维的培养，另外本题还考查了对称、求范围这些高中数学的重点与难点。 《 考纲 》要求“掌握利用导数求极值和最值，同时还要了解导数与原函数的关系”。 考题剖析 极限、导数解答题的解法 f(x)=ax3+bx2－ 3x, 其图象在横坐标为 177。 1的两点处的切线均与 x轴平行 . （ 1） 求函数 f(x)的解析式； （ 2） 对于区间 ［ － 1， 1］ 上任意两个自变量的值 x1, x2， 都有 |f(x1)－ f(x2)|≤k， 试求 k的最小值； （ 3）若过点 A（ 1， m）（ m≠－ 2）可且仅可作曲线y=f(x)的一条切线，求实数 m的取值范围 . 考题剖析 极限、导数解答题的解法 ［解析 ](1) f′(x)=3ax2+2bx－ 3， 依题意 ， f′(1)=f′(－ 1)=0 即 解得 a=1,b=0. ∴ f(x)=x3－ 3x. （ 2） ∵ f(x)=x3－ 3x, ∴ f′(x)=3x2－ 3=3(x+1)(x－ 1) 当 － 1＜ x＜ 1时 ， f′(x)＜ 0， 故 f(x)在区间 ［ － 1,1］ 上为减函数 ， f(x)max=f(－ 1)=2, f(x)min=f(1)=－ 2 ∵ 对于区间 ［ － 1， 1］ 上任意两个自变量的值 x1, x2都有 |f(x1)－ f(x2)|≤|f(x)max－ f(x)min|≤2－ (－ 2)=4. 即 |f(x1)－ f(x2)|max=4. ∴ k≥4 ∴ k的最小值为 4 . ,0323 0323baba考题剖析 极限、导数解答题的解法 （ 3） f′(x)=3x2－ 3=3(x+1)(x－ 1) ∵ 曲线方程为 y=x3－ 3x， ∴ 点 A（ 1， m） 不在曲线上 . 设切点为 M（ x0, y0） ， 则点 M的坐标满足 y0=x30－ 3x0 因 f′(x0)=3(x20－ 1)， 故切线的斜率为 k=3(x20－ 1)=kAM= 整理得 2x30－ 3x20+m+3=0（ **注：也可以先写出切线方程 ， 然 后将点 A的坐标代入得到左式 ） ∵ 过点 A（ 1， m） 仅可作曲线的一条切线 ， ∴ 关于 x0方程 2x30－ 3x20+m+3=0有且仅有一个实根 . 130003xmxx考题剖析 极限、导数解答题的解法 设 g(x0 ) = 2x30－ 3x20+m+3， 则 g′(x0 ) = 6x20－ 6x0， 令 g′(x0)＞ 0得 x0＞ 1或 x0＜ 0, 令 g′(x0)＜ 0得 0＜ x0＜ 1 ∴ 函数 g(x0 ) = 2x30－ 3x20+m+3在区间 (－ ∞， 0)和 (1， +∞)为增函数 ， 在 (0， 1)上为减函数 ， g(x0)的极大 、 极小值点分别为 x0=0, x0=1 ∴ g(x)不是单调函数 ， 关于 x0方程 2x30－ 3x20+m+3 = 0有且仅有一个实根的充要条件是： g(x)极大 =g(0)=m+3＜ 0, ∴ m＜－ 3或 g(x)极小 =g(1)=2+m＞ 0, ∴ m＞－ 2 故所求的实数 a的取值范围是 {m|m＜－ 3或 m＞－ 2} ［点评］ 只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题 .解决这类问题的关键是等价变形 . 考题剖析 极限、导数解答题的解法 7.（ 2020成都市质检二）已知函数 f(x)= (m∈ R, e= 28… 是自。