排列与组合、二项式定理的应用

排列与组合、二项式定理的应用内容摘要：

C. 144种 D. 141种 [解析 ] 方法一 , 从 10个点中 , 任意取 4个点的不同取法共有 C104种，其中，所取4个点共面的可分为两类： 第一类， 4个点同在四面体的一个面上，共有 4C64种取法 . 第二类 , 4个点不同在四面体的一个面上，可分为两种情形：① 4个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有 1个点是某棱的中点 , 另 3点在棱上，因为共有 6条棱 , 所以有 6种取法；② 4个点所在的不共面的棱不止两条，这时， 4个点必然都是棱的中点，它们所在的 4条棱必然是空间四边形的四条边，故有 3种不同的取法 . 第二类 , 4个点不同在四面体的一个面上，可分为两种情形：① 4个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有 1个点是某棱的中点 , 另 3点在棱上，因为共有 6条棱 , 所以有 6种取法；② 4个点所在的不共面的棱不止两条，这时， 4个点必然都是棱的中点，它们所在的 4条棱必然是空间四边形的四条边，故有 3种不同的取法 . 所以符合题意的不同取法种数为C104(4C64+6+3)=141. 方法二 , 在四面体中取定一个面 , 记为 , 那么取不同不共面 的 4个点 , 可 分为四类： 第一类 , 恰有 3个点在  上 , 这时该 3点必然不在同一条棱上 , 因此 , 4个点 的不同取法数为 4(C633)=68. 第二类，恰有 2个点在 α上，可分两种情况： ①该 2点在同一条棱上，这时 4个点的 不同取法数为 4C32(C423)=27。 ②该 2点不在同一条棱上，这时 4个点的不同取法数为 (C623C32)(C421)=30. 第三类，恰有 1个点在 α上，可分为两种情形： ①该点是棱的中点，这时 4个点的不同取法数为 3 3=9；②该点不是棱的中点，这时 4个点的不同取法数为 3 2=6. 第三类，恰有 1个点在 α上，可分为两种情形： ①该点是棱的中点，这时 4个点的不同取法数为 3 3=9；②该点不是棱的中点，这时 4个点的不同取法数为 3 2=6. 第四类， 4个点都不在 α上，只有 1种取法 . 应用分类计数原理，得所求的不同取法数为 68+27+30+9+6+1=141. [例 4] 4个男同学， 3个女同学站成一排 : (1) 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法。 (2) 任何两个女同学彼此不相邻 ,有多少种不同的排法。 (3) 其中甲、乙两同学之间必须有 3人，有多少种不同的排法。 (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法。 (5) 女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法。 (3个女生身高互不相等 ) [解析 ] (1) 3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有 P33种排法；由于 3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与甲同学排队，这时是 5个元素的全排列，应有 A55。