高一数学解三角形

高一数学解三角形内容摘要：

cos A ＝ 36 － 10 － 10 35＝ 20 ， ∴ a ＝ 2 5 . (1)像这样披着向量 “ 外衣 ” 的三角题 ， 看上去呈现形式颇为新颖 ， 其实难度并不大 ， 只要通过向量的运算 “ 脱去外衣 ” ， 即可转化为纯三角题型了 ． (2)正弦定理 、 余弦定理往往在一道题目中交叉使用 ， 以达到 “ 知三求三 ” 的目的 ， 应予以重视 ． 利用正 、 余弦定理解决实际测量问题 【 例 4】 (2020年高考海南 、 宁夏卷 )为了测量两山顶 M， N间的距离 ， 飞机沿水平方向在 A， B两点进行测量 ， A， B， M， N在同一个铅垂平面内 (如示意图 )． 飞机能够测量的数据有俯角和 A， B间的距离 ， 请设计一个方案 ， 包括： ① 指出需要测量的数据 (用字母表示 ， 并在图中标出 )； ② 用文字和公式写出计算 M， N间的距离的步骤 ． 思路点拨： 要根据实际 ， 弄清楚哪些量是可以测量的 ， 哪些量是不可测量的 ， 再进行方案的设计 ． 解：法一： ① 需要测量的数据有 ： A 点到 M ， N 点的俯角 α 1 ， β 1 ； B 点到 M ， N 点的俯角 α 2 ， β 2 ； A ， B 间的距离 d ( 如图所示 ) ． ② 第一步 ： 计算 AM .由正弦定理得 AM ＝d si n α 2si n  α 1 ＋ α 2 ； 第二步 ： 计算 AN .由正弦定理得 AN ＝d si n β 2si n  β 2 － β 1 ； 第三步 ： 计算 MN . 由余弦定理得 MN ＝ AM2＋ AN2－ 2 AM AN c os  α 1 － β 1  . 法二： ① 需要测量的数据有 ： A 点到 M ， N 点的俯角 α 1 ， β 1 ； B 点到 M ， N 点的俯角 α 2 ， β 2 ； A ， B 间的距离 d ( 如图所示 ) ． ② 第一步 ： 计算 BM .由正弦定理得 BM ＝d s i n α 1s i n  α 1 ＋ α 2 ； 第二步 ： 计算 BN .由正弦定理得 BN ＝d s i n β 1s i n  β 2 － β 1 ； 第三步 ： 计算 MN . 由余弦定理得 MN ＝ BM2＋ BN2＋ 2 BM BN cos  β 2 ＋ α 2  . 解此类问题 ， 首先根据题意合理画出示意图是解题关键；合理将条件归结到某一三角形中处理问题是常见策略；合理运用正 、 余弦定理并注意与平面几何相关知识的结合 ． 【例题】 ( 2 010 年高考陕西卷 ) 如图 ， A ， B 是海面上位于东西方向相距 5 ( 3 ＋ 3 ) 海里的两个观测点 ． 现位于 A 点北偏东 45176。 ， B 点北偏西 60176。 的 D 点有一艘轮船发出求救信号 ，位于 B 点南偏西 60176。 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救 ， 其航行速度为30 海里 / 小时 ， 该救援船到达 D 点需要多长时间。 解： 由题意知 AB ＝ 5 ( 3 ＋ 3 ) 海里 ， ∠ D BA ＝ 90176。 － 60176。 ＝ 30176。 ， ∠ D AB ＝ 90176。 － 45176。 ＝ 45176。 ， ∴∠ AD B ＝ 180176。 － ( 45176。 ＋ 30 176。 ) ＝ 105176。 ， 在 △ D A B 中 ， 由正弦定理得DBsi n ∠ D A B＝ABsi n ∠ A D B， ∴ DB ＝AB si n ∠ D A Bsi n ∠ A D B＝5  3 ＋ 3  si n 45176。 si n 105176。 ＝5  3 ＋ 3  si n 45176。 si n 45176。 cos 60176。 ＋ cos 45176。 si n 60176。 ＝ 10 3 ( 海里 ) ， 又 ∠ D B C ＝ ∠ D B A ＋ ∠ ABC ＝ 3 0176。 ＋ ( 90176。 － 60176。 ) ＝ 60176。 ， BC ＝ 20 3 海里 ， 在 △ D B C 中 ， 由余弦定理得 CD2＝ BD2＋ BC2－ 2 BD BC cos ∠ D B C ＝ 300 ＋ 120 0 － 2 10 3 20 3 12＝ 90 0 ， ∴ CD ＝ 30 ( 海里 ) ， 则需要的时间 t＝3030＝ 1 ( 小时 ) ． 错源：忽视三角形中隐含的条件 【例题】 在 △ AB C 中 ， 3s i n A ＋ 4 cos B ＝ 6 , 3 cos A ＋ 4s i n B ＝ 1 ， 则 C 的大小为 ( ) ( A )π6 ( B )56π ( C )π6或56π ( D )π3或23π 错解： 由 3s i n A ＋ 4cos B ＝ 63cos A ＋ 4s i n B ＝ 1平方相加得 s i n ( A ＋ B ) ＝12 . ∴ s i n C ＝12 ， ∴ C ＝π6 或56 π ，故选 C. 错解分析： 平方易增解，由 3cos A ＋ 4s i n B ＝ 1 得 cos A ＜13＜12. ∴ A ＞π3. ∴ C ≠56π. 正解： 由 3si n A ＋ 4cos B ＝ 63c。