高一数学平面向量的应用

高一数学平面向量的应用内容摘要：

→ |＋ |PB ― → |＝ 4. ( 1 ) 求动点 P 的轨迹 C 的方程 ； ( 2 ) 过点 ( 1 , 0 ) 作直线 l 与曲线 C 交于 M 、 N 两点 ， 求 OM ― → ON ― → 的取值范围 ． 思路点拨： (1)利用向量模的概念转化为动点 P到两定点距离之和为定值 4， 根据椭圆定义写出方程； (2)设出 M、 N两点坐标和直线 l的方程 ， 将 OM―→ ON―→ 坐标运算转化为某一参数的函数 ， 然后求其值域 ． 解： ( 1 ) 由 |PA ― → |＋ |PB ― → |＝ 4 知 ， |PA |＋ |PB |＝ 4 ＞ 2 3 ， 所以 P 点的轨迹 C 是以 A 、 B为焦点 ， 以 4 为长轴长的椭圆 ， 由于 a ＝ 2 ， c ＝ 3 ， 所以 b ＝ 1. 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为x24＋ y2＝ 1. ( 2 ) ① 当直线 l 的斜率不存在时 ， M ( 1 ，32) ， N ( 1 ，－32) ， OM ― → ON ― → ＝14； ② 当直线 l 的斜率存在时 ， 设过 ( 1 , 0 ) 的直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1 ) ， 代入曲线 C 的方程得 ( 1 ＋ 4 k2) x2－ 8 k2x ＋ 4 ( k2－ 1 ) ＝ 0 ， Δ 0 恒成立 ． 设 M ( x 1 ， y 1 ) 、 N ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝8 k21 ＋ 4 k2 ， x 1 x 2 ＝4  k2－ 1 1 ＋ 4 k2 . OM ― → ON ― → ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ x 1 x 2 ＋ k2( x 1 － 1 )( x 2 － 1 ) ＝ ( 1 ＋ k2) x 1 x 2 － k2( x 1 ＋ x 2 ) ＋ k2 ＝k2－ 41 ＋ 4 k2 ＝14－1741 ＋ 4 k2 ＜14. 又当 k ＝ 0 时 ， OM ― → ON ― → 取最小值 － 4 ， 所以 － 4 ≤ OM ― → ON ― → ＜14. 根据 ① 、 ② 得 OM ― → ON ― → 的取值范围为 [ － 4 ，14] ． 向量在解析几何问题中出现 ， 多用于 “ 包装 ” ， 解决此类问题时关键是利用向量的意义 、 运算脱去 “ 向量外衣 ” ， 导出曲线上点的坐标之间的关系 ， 从而解决有关距离 、 斜率 、 夹角 、 轨迹 、 最值等问题 ． 变式探究 41： (2020年大连市六校联考 )设 F为抛物线 y2＝ 2px(p＞ 0)的焦点 ， A， B， C为该抛物线上三点 ， 若 FA―→ ＋ FB―→ ＋ FC―→ ＝ 0， |FA―→| ＋ |FB―→| ＋|FC―→| ＝ 3， 则该抛物线的方程是 ( ) (A)y2＝ 2x (B)y2＝ 4x (C)y2＝ 6x (D)y2＝ 8x 解析： ∵ F (p2， 0 ) ，设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， C ( x 3 ， y 3 ) ， 由 FA ― → ＋ FB ― → ＋ FC ― → ＝ 0 得， ( x 1 －p2) ＋ ( x 2 －p2) ＋ ( x 3 －p2) ＝ 0 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＝32p . 又由抛物线定义知， |FA ― → |＋ |FB ― → |＋ |FC ― → |＝ ( x 1 ＋p2) ＋ ( x 2 ＋p2) ＋ ( x 3 ＋p2) ＝ 3 p ＝ 3 ， ∴ p ＝ 1 ， 因此，所求抛物线的方程为 y2＝ 2 x ， 故选 A. 【例 1 】 ( 2 010 年高考福建卷 ) 若点 O 和点 F ( － 2 , 0 ) 分别为双曲线x2a2 － y2＝ 1 ( a ＞ 0 ) 的中心和左焦点 ， 点 P 为双曲线右支上的任意一点 ， 则 OP ― → FP ― → 的取值范围为 ( ) ( A )[ 3 － 2 3 ，＋ ∞ ) ( B )[ 3 ＋ 2 3 ，＋ ∞ ) ( C )[ －74，＋ ∞ ) ( D )[74，＋ ∞ ) 解析： 由 c ＝ 2 得， a2＋ 1 ＝ 4 ， ∴ a2＝ 3 ， ∴ 双曲线方程为x23－ y2＝ 1. 设 P ( x ， y )( x ≥ 3 ) ， 则 OP ― → FP ― → ＝ ( x ， y ) ( x ＋ 2 ， y ) ＝ x2＋ 2 x ＋ y2＝ x2＋ 2 x ＋x23－ 1 ＝43x2＋ 2 x － 1 ( x ≥ 3 ) ， 由于 f ( x ) ＝43 x2 ＋ 2 x － 1 在 [ 3 ，＋ ∞ ) 上为增函数， ∴ f ( x ) m i n ＝ f ( 3 ) ＝ 3 ＋ 2 3 ， ∴ OP ― → FP ― → 的取值范围是 [ 3 ＋ 2 3 ，＋ ∞ ) ， 故选 B. 【例 2 】 ( 20 10 年江南十校联考 ) 在 △ AB C 中 ， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边 ，AB ― → AC ― → ＝ 1 ， AB ― → BC ― → ＝－ 3. ( 1 ) 求 AB 边的长度 ； ( 2 ) 求si n  A － B si n C 的值 ． 解： (1)AB―→ AC―→ ＝ AB―→( AB―→ ＋ BC―→) ＝ AB―→ 2＋ AB―→ BC―→ ＝ AB―→ 2－ 3＝ 1， ∴ |AB―→| 2＝ 4， ∴ |AB―→| ＝ 2， ∴ AB边的长度为 2. (2)由已知和 (1)得 ， AB―→ AC―→ ＝ bccos A＝ 2bcos A＝ 1， AB―→ BC―→ ＝ accos(π－ B)＝ 2acos(π－ B)＝－ 3， 即 2acos B＝ 3， ∴ a cos B ＝ 3 b cos A ， ∴ si n A cos B ＝ 3si n B cos A ， ∴si n  A － B si n C ＝si n  A － B si n  A ＋ B  ＝si n A。