高一数学三角函数的图像

高一数学三角函数的图像内容摘要：

y ＝ f ( x ) 的图象向左平移π2个单位，故选C. 已知函数图象求解析式或参数值 【例 3 】 已知函数 f ( x ) ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ， x ∈ R ( 其中 A 0 ， ω 0 , 0 φ π2) 的图象与 x 轴的交点中 ， 相邻两个交点之间的距离为π2， 且图象上一个最低点为 M (2π3，－ 2 ) ． ( 1 ) 求 f ( x ) 的解析式 ； ( 2 ) 当 x ∈ [π12，π2] 时 ， 求 f ( x ) 的值域 ． 思路点拨： 求解析式实质就是求 A 、 ω 、 φ 的值， A 由最低点纵坐标可求， ω 由函数的周期确定， φ 的值可通过点 M 坐标求得 ． 解： ( 1 ) 由最低点为 M (2π3，－ 2 ) 得 A ＝ 2. 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得T2＝π2， 即 T ＝ π. ∴ ω ＝2πT＝2ππ＝ 2. 由点 M (2 π3，－ 2 ) 在图象上得 2 s i n ( 2 2π3＋ φ ) ＝－ 2 ， 即 s in (4π3＋ φ ) ＝－ 1 ， 故4π3＋ φ ＝ 2 k π －π2( k ∈ Z ) ， ∴ φ ＝ 2 k π －1 1 π6( k ∈ Z ) ． 又 φ ∈ ( 0 ，π2) ， ∴ φ ＝π6， 故 f ( x ) ＝ 2 s in ( 2 x ＋π6) ． ( 2 ) ∵ x ∈ [π12，π2] ， ∴ 2 x ＋π6∈ [π3，7π6] ， 当 2 x ＋π6＝π2， 即 x ＝π6时 ， f ( x ) 取得最大值 2 ； 当 2 x ＋π6＝7π6， 即 x ＝π2时 ， f ( x ) 取得最小值－ 1 ， 故 f ( x ) 的值域为 [ － 1 , 2 ] ． 根据三角函数的图象求函数的解析式，关键是在图象上找到几个确定的点的坐标，由最高点或最低点确定出 A 的值，再由图象确定出最小正周期，从而 求出 ω ，最后根据特殊点的坐标确定出 φ ，或根据图象平移的规律，确定 φ 值 ． 变式探究 31 ： ( 2 0 0 9 年高考辽宁卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ A c o s ( ωx ＋ φ ) 的图象如图所示 ， f (π2) ＝－23， 则 f ( 0 ) 等于 ( ) ( A ) －23 ( B ) －12 ( C )23 ( D )12 解析： 由题意可知， 此函数的周期 T ＝ 2 (1112π －712π ) ＝2π3， 故2πω＝2π3， ∴ ω ＝ 3 ， f ( x ) ＝ A c o s ( 3 x ＋ φ ) ． f (π2) ＝ A c o s (3π2＋ φ ) ＝ A s in φ ＝－23.又由题图可知 f (7π12) ＝ A c o s ( 3 7π12＋ φ ) ＝ 0 ， ∴ f ( 0 ) ＝ A c o s φ＝23.故选 C. 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年合肥模拟 ) 将函数 y ＝ s in ( 2 x ＋π3) 的图象上各点向右平移π6个单位长度 ，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半 ， 纵坐标保持不变 ， 所得函数图象的一条对称轴是( ) ( A ) x ＝π8 ( B ) x ＝π6 ( C ) x ＝π3 ( D ) x ＝π2 解析： 依题意知变换图象后所得图象对应函数的解析式为 y ＝ s in 4 x ，令 4 x ＝ k π ＋π2， k ∈Z ，则 x ＝k π4＋π8， k ∈ Z .将各选项代入验证可知只有 A 符合，故选 A. 【例 2 】 ( 2 0 1 0 年高考山东卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝12s in 2 x s i n φ ＋ c o s2x c o s φ －12s in (π2＋ φ )( 0 ＜ φ＜ π ) ， 其图象过点 (π6，12) ． ( 1 ) 求 φ 的值 ； ( 2 ) 将函数 y ＝ f ( x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12， 纵坐标不变 ， 得到函数 y ＝ g ( x )的图 象 ， 求函数 g ( x ) 在 [ 0 ，π4] 上的最大值和最小值 ． 解： ( 1 ) 因为函数 f ( x ) 的图象过点 (π6，12) ， 所以12＝12s i nπ3s in φ ＋ c o s2π6c o s φ －12s in (π2＋ φ ) ， 即32s in φ ＋12c o s φ ＝ 1 ， 即 s in ( φ ＋π6) ＝ 1 ， ∵ 0 ＜ φ ＜ π ， ∴ φ ＋π6＝π2， 解得 φ ＝π3. ( 2 ) φ ＝π3时 ， f ( x ) ＝34s in 2 x ＋12c o s2 x －14 ＝34s in 2 x ＋14c o s 2 x ＝12(32s in 2 x ＋12c o s 2 x ) ＝12s in ( 2 x ＋π6) ， ∴ g ( x ) ＝12s in ( 4 x ＋π6) ． ∵ x ∈ [ 0。