高三数学不等式练习题

高三数学不等式练习题内容摘要：

       A n nA nnn2 2 132 142 121 131 151 12 12 12故 ( )( ) ( ) 说明：证明不等式，常用的方法有比较法、综合法、分析法、数学归纳法和反证法。 本题注意了根据欲证不等式的特点灵活选择，并恰当地“放缩代换”，这是证不等式不可忽视的两点。 例 8 解不等式 3 2 2 1 0 1lo g lo g ( )a ax x a     解法 1：（转化为等价不等式组）原式等价于 3 2 0 13 2 2 1 22 1 0 32log ( )log ( log ) ( )log ( )aa aaxx xx     7 1 解（ 1）得 lo g ( ) lo g lo g ( ) lo ga a a ax x x x   23 2 43 1 3 12，由 得 或 ，由 得，     23 34 1 1l o g l o ga ax x a或 ，故 时，解集为 10),(),( 4332  aaaa  时，解集为 ［ ， ，a a a34 23 0) ( )。 解法 2：（整体换元）令y x x y y y y y xy x x xa a aa a a                  3 2 13 2 02 3 1 0 0 3 2 123 2 1 23 34 1 122log log ( ) , loglog log log，则或 或。 下同解法。 解法 3：（通过局部换元后，用数形结合或讨论法求解） 令 12)32(23122332l og21  tyttytttxt a ，设且，则 ( )t12 ， y y1 2 34 12 1 1与 图像 略 交点为( ) ( , ), ( , )，由图像观察可得：t x t xa a    lo g lo g ( )1 23 34，或 下略。 说明：熟练掌握代数（有理、无理）及超越（指数、对数、三角）不等式的解法是高考中档试题的一个较为稳定的命题重点和热点，化高次为低次，化无理为有理，化多元为一元，化超越为代数，以及等价转化，分类讨论，数形结合，换元法等数学思想方法在本题多种解法中均有体现。 例 9 二次函数 f x ax bx c( )   2 的系数都是整数且 f x( )0 ，在（ 0， 1）内有两个不等的根，求最小的正整数 a。 解：令 f x( )0 的两根为 、 ，且       、 ，1 ，于是f x a x x( ) ( )( )   ，  f a( )0 ，f a f f( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 0 1 0     ，由，得41)21()1(100)1)(1( 222   ，但a ，   0 1 14 ( )a。 同理 0 1 14   ( ) ，且等号不同时成立，所以 0 1 1 116     ( )( )，0 1 1 16 0 0 1 162 2 2     a a f f a  ( )( ) ( ) ( )，即，而 a b c Z， ，  ，所以f f Z f f a a( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 1 16 1 162 2   。 ， ，故最小的正整数 a5。 说明：实系数一元一次、一元二次方程的实根与系数的关系，构成了高考重点、难点、热点问题，这 类问题的解决要运用实系数方程实根分布的理论，这也是中学数学的一个重要内容，它体现了函数与方程的思想及数形结合的方法，不 8 1等式与方程互化的思想，本题正是运用了这些思想方法，才使问题化繁为简，顺利获解。 例 10 设 x y R，   ， a b R，   ， a b， 为常数， ax by 1，试求 x y 的最小值。 解法 1：显然 x a y b ax by y bxx a     ， ，由 ，得1，于是有abbabaax baaxbaax baaxax babxax bababxxyx2)(2)(  当 x a bax a x a ab y b ab      即 此时( )时， x y 的最小值为a b ab 2。 解法 2：本题也可用判别式法。 令 u x bxx a x b a u x au x R b a u au              , ( ) , , ( )2 20 4 0,                u a b u a b u a b ab u a b ab x y a b2 22 0 2 2( ) ( ) , 或 ， ，          u a b ab x a ab u a b ab x y2 2不能成立，又当 时 ，,有最小值 a b ab 2。 解法 3：用三角换元法 设 )20(,c s c,s e c 22  ， byax ，则 x y a b a b a b a b aba b ba x a ab y b ab              se c c sc tan c ottan c ot tan2 2 2 222     ，当且仅当，即 ， ， 时等号成立。 说明：最值问题也构成不等式在高考中的重点、难点、热点问题，掌握和运用两个和三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理是解决这类问题必不可少的基本技能与技巧。 强化训练 （一）选择题 1. 已知 log log ,a bx x a b x   ， 1 1则（ ） ( ) ( )( ) ( )A a b B a bC b a D b a0 1 0 10 1 0 1           2. 若 0 12 1 22  x x x，则 ( )的最大值为（ ） ( ) ( ) ( ) ( )A B C D13 19 127 132 3. 已知函数 f x ax( ) | | 1 的图像如图 2，当 m n p  时，有f m f p f n( ) ( ) ( ) ，那么正确的结论是（ ） 9 1 ( )( )( )( )Aa aB a aC a aD a am pm nm nm p  2 y O x 图 2 4. 不等式 2 x x 的解集是（ ） ( ){ | } ( ){ | }( ){ | } ( ){ | }A x x B x xC x x D x x     1 2 10 1 0 5. 不等式组 x xxxx 03322| |的解集是（ ） ( ){ | } ( ){ | . }( ){ |。