高三年级数学第一学期第三次理科月考试题

高三年级数学第一学期第三次理科月考试题内容摘要：

300150 kt ， Nk 时， 2maxI ； 当  kt 22361 00 ，即 75150 kt ， Nk 时， 2min I ． „ 9分 而 0t ， ∴ I 第一次达到最大值时， 3001t ； I 第 一 次 达 到 最 小 值 时 ，751t ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12 分 16．（本小题满分 12 分） 如图 4，正三棱柱 111 CBAABC  中， 11 ABAA ， P 、 Q 分别是侧棱 1BB 、 1CC 上的点，且使得折线 1APQA 的长 1QAPQAP  最短． （ 1）证明：平面 APQ 平面 CCAA11 ； （ 2）求直线 AP 与平面 PQA1 所成角的余弦值． 解 ：（ 1） ∵ 正三棱柱 111 CBAABC  中， 11  ABAA ， ∴ 将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形 39。 39。 11 AAAA （ 如图 ）， B CA1A1C1BPQ4图B CA1A1C1BPQ39。 A39。 1AA1A 从而，折线 1APQA 的长 1QAPQAP  最短，当且仅当 39。 A 、 P 、 Q 、 A 四点共线， ∴ P 、 Q 分别是 1BB 、 1CC 上的三等分点，其中311QCBP ．„„„„„„„„„„„„„ 2 分 （ 注 ： 直接正确指出点 P 、 Q 的位置，不扣分 ） 连结 AQ ，取 AC 中点 D ， AQ 中点 E ，连结 BD 、 DE 、 EP ． 由正三棱柱的性质，平面 ABC 平面 CCAA11 ， 而 ACBD ， BD 平面 ABC ， 平面 ABC 平面 ACCCAA 11 ， ∴ BD 平面 CCAA11 ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 4 分 又由（ 1）知， BPCQDE  //21// ， ∴ 四边形 BDEP 是平行四边形，从而 BDPE// ． ∴ PE 平面 CCAA11 ． 而 PE 平面 APQ， ∴ 平面 APQ 平面CAA11 ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 8 分 （ 2 ）（ 法一 ） 由 （ 2 ）， 同 理 可 证 ， 平 面 PQA1 平面BBAA11 ． „„„„„„„„„„„„„„ 10 分 而 AP 平面 BBAA11 ，平面 PQA1 平面 APBBAA 11 ， ∴ PA1 即为 AP 在平面 PQA1 上的射影， 从而 1APA 是直线 AP 与平面 PQA1 所成的角．„„„„„„„„ 12 分 在△ 1APA 中， 11AA ， 31022  BPABAP ， 313212111  PBBAPA ， 由余弦定理，1 3 01 3 0731331021913910c o s 1  A P A ， 即直线 AP 与平面 PQA1 所成角的余弦值为1301307 ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 14 分 （ 法二 ）取 BC 中点 O 为原点， OA 为 x 轴， OC 为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐B CA1A1C1BPQDEB CA1A1C1BPQ 标系 xyzO ，由（ 1）及正三棱柱的性质，可求得： )0,0,23(A ， )1,0,23(1A ， )31,21,0( P ， )32,21,0(Q ． 从而 )31,21,23( AP ， )32,21,23(1 PA ， )31,21,23(1 QA ．„„„„„„„ 10 分 设平面 PQA1 的一个法向量为 ),( zyxn ， 则 QAPA11nn，所以  0011QAPAnn， 即03121230322123zyxzyx ， 解 之 ， 得zyzx3133，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12 分 取 3z ，得 3x ， 1y ， ∴ )3,1,3( n ． 从而1 3 09313312123123c o s22|n|||nnAPAPAP ， 即直线 AP 与平面 PQA1 所成角的正弦值为1 309|,c o s|  nAP， ∴ 直线 AP 与平面 PQA1 所成角的余弦值为1301307130912 ． „„„„„„„„„„„ 14 分 17．（本小题满分 14 分） 已知函数 )(xf 满足 Cxxfxxf  23 3239。 )(（ 其中 3239。 f为 )(xf 在 点 32x 处 的导数 ， C 为常数 ） ． （ 1） 求 函数 )(xf 的单调区间； （ 2） 若方程 0)( xf 有且只有两个不等的实数根，求常数 C ； CBA1A1C1BPQzyOx （ 3） 在（ 2）的条件下，若 031。