湖南省长沙市四县联考20xx年高考数学模拟试卷理科3月份

湖南省长沙市四县联考20xx年高考数学模拟试卷理科3月份内容摘要：

露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （处暑） 立夏 （立秋） 小满 （大暑） 芒种 （小暑） 夏至 晷影长 （寸） 135 125 115.1 105.2 95.3 75.5 66.5 45.7 35.8 25.9 16.0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为 寸，夏至晷影长为 寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（ ） A． 寸 B． 寸 C． 寸 D． 寸 【考点】 函数与方程的综合运用． 【分析】 设晷影长为等差数列 {an}，公差为 d， a1=， a13=，利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】 解：设晷影长为等差数列 {an}，公差为 d， a1=， a13=， 则 +12d=，解得 d=﹣ ． ∴ a6=﹣ 5=． ∴ 《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是 寸． 故选： C． 【点评】 本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．设 F F2是双曲线 ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（ + ） ⋅ =0（ O 为坐标原点），且 2| |=3| |，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】 双曲线的简单性质． 【分析】 由向量减法法则和数量积的运算性质，可得 = =c，从而得 到 △ PF1F2 是以为 F1F2 斜边的直角三角形．由此结合 ，运用勾股定理算出 c， c，再根据双曲线的定义得到 2a的值，即可得到该双曲线的离心率． 【解答】 解： ∵ = ∴ ， 得 ﹣ =0，所以 = =c ∴△ PF1F2中，边 F1F2上的中线等于 |F1F2|的一半，可得 ⊥ ∵ ， ∴ 设 ， ，（ λ＞ 0） 得（ 3λ） 2+（ 2λ） 2=4c2，解得 λ= c ∴ c， c 由双曲线的定义，得 2a=| |= c ∴ 双曲线的离心率为 e= = 故选 A 【点评】 本题给出双曲线上一点 P 满足 ∠ F1PF2 为直角，且两 直角边之比为 ，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题． 11．已知集合 M={（ x， y） |y=f（ x） }，若对于任意实数对（ x1， y1） ∈ M，存在（ x2， y2） ∈ M，使 x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 是 “垂直对点集 ”，给出下列四个集合： ① M={（ x， y） |y= }； ② M={（ x， y） |y=sinx+1}； ③ ={（ x， y） |y=2x﹣ 2}； ④ M={（ x， y） |y=log2x} 其中是 “垂直对点集 ”的序号是（ ） A． ②③④ B． ①②④ C． ①③ ④ D． ①②③ 【考点】 集合的表示法． 【分析】 利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合 M={（ x， y） |y=f（ x） }是 “垂直对点集 ”，就是在函数图象上任取一点 A，得直线 OA，过原点与 OA 垂直的直线 OB，若 OB 总与函数图象相交即可． 【解答】 解：由题意，若集合 M={（ x， y） |y=f（ x） }满足： 对于任意 A（ x1， y1） ∈ M，存在 B（ x2， y2） ∈ M，使得 x1x2+y1y2=0 成立， 因此 ．所以，若 M 是 “垂直对点集 ”， 那么在 M 图象上任取一点 A，过原点与直线 OA 垂直的直线 OB 总与函数图象相交于点 B． 对于 ① ： M={（ x， y） |y= }，其图象是过一、二象限，且关于 y 轴对称， 所以对于图象上的点 A，在图象上存在点 B，使得 OB⊥ OA，所以 ① 符合题意； 对于 ② ： M={（ x， y） |y=sinx+1}，画出函数图象， 在图象上任取一点 A，连 OA，过原点作直线 OA 的垂线 OB， 因为 y=sinx+1 的图象沿 x 轴向左向右无限延展，且与 x 轴相切， 因此直线 OB 总会与 y=sinx+1 的图象相交． 所以 M={（ x， y） |y=sinx+1}是 “垂直对点集 ”，故 ② 符合题意； 对于 ③ ： M={（ x， y） |y=2x﹣ 2}，其图象过点（ 0，﹣ 1）， 且向右向上无限延展，向左向下无限延展， 所以，据图可知，在图象上任取一点 A，连 OA， 过原点作 OA 的垂线 OB 必与 y=ex﹣ 2 的图象相交，即一定存在点 B，使得 OB⊥ OA 成立， 故 M={（ x， y） |y=2x﹣ 2}是 “垂直对点集 ”．故 ③ 符合题意； 对于 ④ ： M={x， y） |y=log2x}，对于函数 y=log2x， 过原点做出其图象的切线 OT（切点 T 在第一象限）， 则过切点 T 做 OT 的垂线，则垂线必不过原点， 所以对切点 T，不存在点 M，使得 OM⊥ OT， 所以 M={（ x， y） |y=log2x}不是 “垂直对点集 ”；故 ④ 不符合题意． 故选： D． 【点评】 本题考查 “垂直对点集 ”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 12．定义在（ 1， +∞ ）上的函数 f（ x）满足下列两个条件：（ 1）对任意的 x∈（ 1， +∞ ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）当 x∈ （ 1， 2]时， f（ x） =2﹣ x；记函数 g（ x） =f（ x）﹣ k（ x﹣ 1），若函数 g（ x）恰有两个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A． [1， 2） B． C． D． 【考点】 函数零点的判定定理． 【分析】 根据题中的条件得到函数 的解析式为： f（ x） =﹣ x+2b， x∈ （ b， 2b]，又因为 f（ x） =k（ x﹣ 1）的函数图象是过定点（ 1， 0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可 【解答】 解：因为对任意的 x∈ （ 1， +∞ ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立，且当 x∈ （ 1， 2]时， f（ x） =2﹣ x 所以 f（ x） =﹣ x+2b， x∈ （ b， 2b]． 由题意得 f（ x） =k（ x﹣ 1）的函数图象是过定点（ 1， 0）的直线， 如图所示红色的直线与线段 AB 相交即可（可以与 B 点重合但不能与 A 点重合） 所以可得 k 的范围为 故选 C． 【点评】 解决此类问 题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具． 二、填空题 13．若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角是 120176。 ． 【考点】 数量积表示两个向量的夹角． 【分析】 将已知等式 平方得到 的模的关系及 ，然后利用向量的数量积公式求出 的夹角． 【解答】 解： ∵ = = ∴ ， ∴ （ + ） •（ ﹣ ） =﹣ 2| |2， 设 的夹角为 θ cosθ= ∵ θ∈ [0176。 ， 180176。 ] ∴ θ=120176。 故答案为 120176。 【点评】 求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为 [0176。 ， 180176。 ] 14．已知（ ﹣ ） 5的展开式中含 x 的项的系数为 30，则实数 a= ﹣ 6 ． 【考点】 二项式系数的性质． 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出 r 与 a 的值． 【解答】 解：（ ﹣ ） 5展开式的通项公式为： Tr+1= • • =（﹣ a） r• • ， 令 = ，解得 r=1； 所以展开式中。