湖南20xx届高三上学期第四次月考试题数学文

湖南20xx届高三上学期第四次月考试题数学文内容摘要：

在山坡的 A 处测得 ∠ DAC＝ 15176。 ， 沿山坡前进 50 m到达 B 处 ， 又测得 ∠ DBC＝ 45176。 ， 根据以上数据可得 cos θ ＝ __ 3－ 1__． 【解析】 ∵∠ DAC＝ 15176。 ， ∠ DBC＝ 45176。 ， ∴∠ ADB＝ 30176。 ， 在 △ ABD 中 ， 由正弦定理得 ABsin∠ ADB＝ BDsin∠ BAD， 即 5012＝ BD6－ 24， ∴ BD＝ 25( 6－ 2)． 在 △ BCD 中 ， 由正弦定理得 CDsin∠ DBC＝ BDsin∠ BCD， 即 2522＝ 25（ 6－ 2）sin∠ BCD ， ∴ sin∠ BCD＝ 3－ 1. ∴ cos θ ＝ sin(π－ ∠ BCD)＝ sin∠ BCD＝ 3－ 1. (15)如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ CAB＝ ∠ CBA＝ 30176。 ， AC、 BC 边上的高分别为 BD、 AE，若以 A、 B 为焦点 ， 且过 D、 E的椭圆与双曲线的离心率分别为 e1， e2， 则 1e1＋ 1e2的值为 __ 3__． 【解析】 不妨役 BD＝ AE＝ 1， 则 AD＝ BE＝ 3， AB＝ 2， 椭圆长轴长为 2a， 双曲线实轴长为 2a′， 焦距为 2c， 则 2c＝ 2， 2a＝ 1＋ 3， 2a′＝ 3－ 1， 1e1＋1e2＝ac＋a′c＝1＋ 32 ＋3－ 12 ＝ 3. (16)某同学的作业不小心被墨水玷污 ， 经仔细辨认 ， 整理出以下两条有效信息： ① 题目： “ 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知椭圆 x2＋ 2y2＝ 1的左顶点为 A， 过点 A作两条斜率之积为 2 的射线与椭圆交于 B， C， „” ② 解： “ 设 AB 的斜率为 k， „ 点 B 1－ 2k21＋ 2k2，2k1＋ 2k2 ， D － 53， 0 ， „” 据此 ， 请你写出直线 CD 的斜率为 __ 3k2k2＋ 4__． (用 k 表示 ) 【解析】 由题设 AC 的斜率是 2k， 将其代入 B 1－ 2k21＋ 2k2，2k1＋ 2k2 可得 Ck2－ 8k2＋ 8，4kk2＋ 8 ， 运用斜率公式可得 kCD＝4kk2＋ 8k2－ 8k2＋ 8＋53＝ 3k2k2＋ 4， 应填 3k2k2＋ 4. 三、解答题：解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤 ． (17)(本小题满分 12 分 ) 在 △ ABC 中 ， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且满足 cos 2C－ cos 2A＝2sin π 3 ＋ C sin π 3 － C . (Ⅰ )求角 A 的值； (Ⅱ )若 a＝ 3， 且 b≥ a， 求 2b－ c 的取值范围 ． 【解析】 (Ⅰ )由已知得 2sin2A－ 2sin2C＝ 2 34cos2C－ 14sin2C .(2 分 ) 化简得 sin A＝ 32 ， 故 A＝ π 3 或 A＝ 2π3 .(5 分 ) (Ⅱ )由正弦定理 bsin B＝ csin C＝ asin A， 得 b＝ 2sin B， c＝ 2sin C(7 分 ) 故 2b－ c＝ 4sin B－ 2sin C＝ 4sin B－ 2sin 2π3 － B ＝ 3sin B－ 3cos B ＝ 2 3sin B－ π6 (9 分 ) 因为 b≥ a， 所以 π 3 ≤ B2π3 ， π 6 ≤ B－ π 6 π 2 ， (11 分 ) 所以 2b－ c＝ 2 3sin B－ π6 ∈ [ )3， 2 3 .(12 分 ) (18)(本小题满分 12 分 ) 设数列 {an}满足： a1＝ 1， 点 (an， an＋ 1)(n∈ N*)均在直线 y＝ 2x＋ 1 上 ． (Ⅰ )证明数列 {an＋ 1}为等比数列 ， 并求出数列 {an}的通项公式； (Ⅱ )若 bn＝ log2(an＋ 1)， 求数列 { }( )an＋ 1 bn 的前 n 项和 Tn. 【解析】 (Ⅰ )证明：由点 ( )an， an＋ 1 (n∈ N*)均在直线 y＝ 2x＋ 1 上可知 an＋ 1＝ 2an＋ 1 则 an＋ 1＋ 1＝ ( )2an＋ 1 ＋ 1＝ 2( )an＋ 1 于是 an＋ 1＋ 1an＋ 1＝ 2( )n∈ N* 即数列 {an＋ 1}是以 2 为公比的等比数列 ． 因为 an＋ 1＝ ( )a1＋ 1 2 n－ 1＝ 2n， 所以 an＝ 2n－ 1.(6 分 ) (Ⅱ )bn＝ log2(an＋ 1)＝ log22n＝ n， 所以 ( )an＋ 1 bn＝ n2 n(7 分 ) Tn＝ 121＋ 222＋ 323＋ „ ＋ n2 n ① 2Tn＝ 122＋ 223＋ „ ＋ (n－ 1)2 n＋ n2 n＋ 1 ② ① － ② 得 － Tn＝ 121＋ 122＋ 123＋ „ ＋ 12n－ n2 n＋ 1(10 分 ) ＝ 2（ 1－ 2n）1－。