高三数学等差数列与等比数列的综合问题

高三数学等差数列与等比数列的综合问题内容摘要：

、 {bn}是公比不相等的两个等比数列， =an+bn， 证明数列 {}不是等比数列。 评： 依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，是 数列中的基本问题之一。 提示 （ 1） … (2t)(3t)2n3n=0 p=2或 p=3. （ 2）为证 {}不是等比数列只需证 c22≠c1 c3 考点五： 等 比 数列的 性质： 如果在 a、 b中间插入一个数 G，使 a、 G、 b成等差数列，则 G 叫 a、 b的等差中项． G2＝ ab m+n=p+q 2. aman＝ apaq(等比数列 ) Sn, S2nSn, S3nS2n, … S knS(k1)n成等比数列 . {kn}成等差数列 ,则 { }成等比数列 . nka=a2an1=…=a kank+1= … 若 an0, a1a2 …a n= 21 )(nnaa ： m+n=p+q am+an＝ ap+aq(等差数列 ) ama n＝ apa q(等比数列 ) (m、 n、 p、 q∈ N*) 特别地 m+n=2p am+an＝ 2ap(等差数列 ) ama n＝ a2p(等比数列 ) 知识要点 【 典型例题 5】 在等比数列 {an}中 , Sn表示前 n项和 . (1)a1+an=66, a2an1=128, Sn=126, 求 n和公比 q。 (2)Sn=2, S2n=12, 求 S3n. 【 同类变式 】 在 1/n和 n+1之间插入 n个正数 , 使这 n+2 个数依次成等比数列 , 求所插入的 n个数之积 . 解： 设这 n个数为 x1， x2， x3， …x n，且公比为 q，则有 111  nqnn= 2 )1(1 nnnqn= 2)]1([1 nnnnn = 2)1(nnn ∴ qn+1=n(n+1), xk=qk n (k=1,2,3, …,n ) ∴ x1 x2x3…x n=(qq2q3…q n) nn 【 典型例题 6】 设等比数列 {an}的各项均为正数，项数是偶数， 它的所有项的和等于偶数项和的 4倍，且第二项与第四项的积是 第 3项与第 4项和的 9倍，问数列 {lgan}的前多少项和最大。 (lg2=,lg3=) 解法一： 设公比为 q,项数为 2m,m∈ N*,依题意有 )(9)()(1)1(41)1(312131122121qaqaqaqaqqqaqqa mm 化简得 10831 ),1(9114121aqqqaqq解得设数列 {lgan}前 n项和为 Sn, 则 Sn=lga1+lga1q2+… +lga1qn－ 1 =lga1nq1+2+… +(n－ 1) =nlga1+n(n－ 1)lgq =n(2lg2+lg3)－ n(n－ 1)lg3 21=(－ )n2+(2lg2+ lg3)n . 23lg27 可见，当 n= ，时3lg3lg272lg2  Sn最大 . 3lg3lg272lg2而 = , 故 {lgan}的前 5项和最大 . 设等比数列 {an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第 3项与第 4项和的 9倍，问数列 {lgan}的前多少项和最大。 (lg2=,lg3=) 解法二：接前， 311081qa 于是 lgan=lg［ 108( )n－ 1］ 31=lg108+(n－ 1)lg 31∴ 数列 {lgan}是以 lg108为首项，以 lg 为公差的等差数列， 31令 lgan≥ 0, 得 2lg2－ (n－ 4)lg3≥ 0, ∴ n≤ 3lg3lg42。