高三数学导数的应用

高三数学导数的应用内容摘要：

∴ a≤3. 又 ∵ a＞ 0， ∴ a的取值范围是 (0,3]． (2020北京宣武区质检 )已知函数 f(x)= x3ax2+(a21)x+b(a， b∈ R)． 若 x=1为 f(x)的极值点，求 a的值． 13变式 31 解析： f′(x)=x22ax+a21=[x(a1)][x(a+1)]． ∵ x=1是 f(x)的极值点， ∴ f′(1)=0，即 a22a=0， 解得 a=0或 a=2. 易错警示 【 例 】 函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值 10，求 a、b的值． 错解： f′(x)=3x2+2ax+b，由题意知 f′(1)=0，且 f(1)=10， 即 2a+b+3=0，且 a2+a+b+1=10， 解得 a=4， b=11或 a=3， b=3. 正解： f(x0)为极值的充要条件是 f ′(x0)=0且 f ′(x) 在 x0附近两侧的符号相反． 所以在错解后应该加上：当 a=4， b=－ 11时， f ′(x)=3x2+8x－ 11=(3x+11)(x－ 1)在 x=1附近两侧的 符号相反， ∴ a=4， b=－ 11满足题意； 当 a=－ 3， b=3时， f ′(x)=3(x－ 1)2在 x=1附近两侧的 符号相同， ∴ a=－ 3， b=3应舍去． 综上所述， a=4， b=－ 11. 链接高考 (2020安徽 )设函数 f(x)=sin xcos x+1,0＜ x＜ 2p，求函数 f(x)的单调区间与极值． (sin x)′=cos x， (cos x)′=sin x， (xn)′=n xn1，以及求导法则 [f(x)177。 g(x)]′=f′(x)177。 g′(x)； 2. 掌握三角辅助角公式： asin x+bcos x= sin(x+F)(其中 )； 3. 根据 x， f′(x)， f(x)的变化情况表求出 f(x)的单调区间和极值． 22ab tan ba解析： 由 f(x)=sin xcos x+x+1,0＜ x＜ 2p， 知 f ′(x)=cos x+sin x+1， 于是 令 f′ (x)=0，从而 , 得 x=p或 x= . 当 x变化时， f′(x)、 f(x)的变化情况如表： 2s in42xp  32p39。 ( ) 1 2 s in4f x xp  32pp32p3 22p p32px (0， p) p f′ (x) + 0 0 + f(x) 单调递增 p+2 单调递减 单调递增 因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是 ， 单调递减区间是 ，极小值为 ，极大 值为 . 3( 0 , ) 22ppp与32pp3322fp p( 2) 2f pp  第十三节 导数的应用 (2) 基础梳理 1. 函数的最值：可导函数 f(x)在闭区间 [a， b]上所有点 (包括端点 a， b)处的函数值中的最大 (或最小 )值，叫做函数 f(x)在 [a， b]上的__________________． 2. 求函数 y=f(x)在 [a， b]上最值的步骤： (1)_____________________________； (2)_____________________________； (3) __________________________________. 最大 (或最小 )值 求函数 f(x)在 (a， b)内的极值 将函数 f(x)的各极值与 f(a)、 f(b)比较，其中最大的 一个为最大值，最小的一个为最小值 求 f(x)在区间端点的值 f(a)、 f(。