高三数学函数与导数的综合应用

高三数学函数与导数的综合应用内容摘要：

x 的夹角为 45, 且倾角为钝角 , 解得 f(1)=3. 又 f(1)=2, ∴ | |=1 且 f(1)0. 2f(1) 1+2f(1) ∴ 3a2b=3 且 a+b=2. 解得 a=1, b=3. ∴ f(x)=x3+3x2. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值 , 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(1, 2). 若曲线 f(x) 在点 P 处的切线与直线 y=2x的夹角为 45, 且倾角为钝角 . (1)求 f(x) 的解析式。 (2)若 f(x) 在区间 [2m1, m+1] 递增 , 求 m 的取值范围 . 导数的应用举例 4 解 : (2)由 (1)知 f(x)=3x2+6x. 又由 f(x)0x2 或 x0, ∴ f(x) 的单调递增区间为 (∞ , 2] 和 [0, +∞ ). ∵ 函数 f(x) 在区间 [2m1, m+1] 递增 , ∴ 2m1m+1≤ 2 或 m+12m1≥ 0. ∴ [2m1, m+1] (∞ , 2] 或 [2m1, m+1] [0, +∞ ). 解得 m≤ 3 或 ≤ m2. 1 2 即 m 的取值范围是 (∞ , 3]∪ [ , 2). 1 2 导数的应用举例 5 已知函数 f(x)=x3ax23x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞ ) 上是增函数 , 求实数 a 的取值范围。 (2)若 x= 是 f(x) 的极值点 , 求 f(x) 在 [1, a] 上的最大值。 (3)在 (2)的条件下 , 是否存在实数 b, 使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点 , 若存在 , 求出实数 b 的取值范围。 若不存在 , 请说明理由 . 1 3 解 : (1)由已知 f(x)=3x22ax3. ∵ f(x) 在区间 [1, +∞ ) 上是增函数 , ∴ 在 [1, +∞ ) 上恒有 f(x)≥ 0, 即 3x22ax3≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立 . 则必有 ≤ 1 且 f(1)=2a≥ 0. a 3 解得 a≤ 0. 故实数 a 的取值范围是 (∞ , 0]. 由于 f(0)=30, ∴ f(x)=3x28x3. 在 [1, 4] 上 , 当 x 变化时 , f(x), f(x) 的变化情况如下表 : ∴ f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=6. (3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点 , 即方程 x34x23x=bx 恰有三个不等实根 . (2)由题设 f( )=0, 即 + a3=0. 1 3 1 3 2 3 解得 a=4. 令 f(x)=0 得 x= 或 3. 1 3 x 1 (1, 3) 3 (3, 4) 4 f(x) 0 + f(x) 6  18  12 ∵ x=0 是方程一个的根 , ∴ 方程 x24x3=b 即 x24x(3+b)=0 有两个非零不等实根 . ∴ △ =16+4(3+b)0 且 3+b0. 解得 b7 且 b3. 故实数 b 的取值范围是 (7, 3)∪ (3, +∞ ). 已知函数 f(x)=x2eax, 其中 a≤ 0, e 为自然对数的底数 . (1)讨论函数 f(x) 的单调性。 (2)求函数 f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值 . 导数的应用举例 6 解 : (1)∵ f(x)=x2eax, ∴ f(x)=2xeax+x2eaxa =(ax2+2x)eax. ∵ a≤ 0, ∴ 对 函数 f(x) 的单调性可讨论如下 : ① 当 a=0 时 , 由 f(x)0 得 x0。 由 f(x)0 得 x0. ∴ f(x) 在 (∞ , 0) 上单调递减 , 在 (0, +∞ ) 上单调递增。 ② 当 a0 时 , 由 f(x)0 得 x0 或 x。 2 a 由 f(x)0 得 0x . 2 a在 ( , +∞ ) 上也单调递减 . 2 a ∴ f(x) 在 (0, ) 上单调递增 , 在 (∞ , 0) 上单调递减 , 2 a 已知函数 f(x)=x2eax, 其中 a≤ 0, e 为自然对数的底数 . (1)讨论函数 f(x) 的单调性。 (2)求函数 f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值 . 导数的应用举例 6 解 : (2)由 (1)知当 a=0 时 , f(x) 在区间 [0, 1] 上为增函数。 ∴ 当 a=0 时 , f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值为 f(1)=1。 当 2≤ a0 时 , f(x) 在区间 [0, 1] 上为增函数。 ∴ 当 a2 时 , f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值为 : 当 a2 时 , f(x) 在区间 [0, 1] 上先增后减 , ∴ 当 2≤ a0 时 , f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值为 f(1)=ea。 且在 x= 时取最大值 . 2 a f( )= . 2 a a2e2 4 导数的应用举例 7 证 : (1)∵ xe2, ∵ 当 x1 时 , g(x)0, ∴ g(x) 在 (1, +∞ ) 上为增函数 . 又 g(x) 在 x=1 处连续 , ∴ f(x)=lnx2. 已知函数 f(x)=lnx. (1)求证 : 当 1xe2 时 , 有 x。 (2)求证 : 当 xa0 时 , 恒有 ax . xa 2f(x) 2+f(x) f(x)f(a) x+a 2 2f(x) 2+f(x) ∴ 要证 x 成立 , 即 lnx 成立 . x+1 2(x1) 记 g(x)=lnx . x+1 2(x1) 则 g(x)= (x+1)2 4 1 x 只要证明 x(2lnx)2+lnx, x(x+1)2 (x1)2 = . ∴ g(x)g(1)=0. ∴ ln。