高一数学数列的综合应用

高一数学数列的综合应用内容摘要：

－ n. ② ① － ② ， 得 2 Sn3＝ 1 ＋ 3－ 1＋ 3－ 2＋ „ ＋ 31 － n－ n 3－ n ＝1 － 3－ n23－ n 3－ n＝32－ ( n ＋32) 3－ n. ∴ Sn＝94－12( n ＋32) 31 － n＝9 －  2 n ＋ 3  31 － n4. 数列的实际应用 【 例 3】 某市 2020年新建住房 400万平方米 ， 其中有 250万平方米是中低价房 ， 预计在今后的若干年内 ， 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外 ， 每年新建住房中 ， 中低价房的面积均比上一年增加 50万平方米 ． 那么 ， 到哪一年底 ， (1)该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2020年为累计的第一年 )将首次不少于 4750万平方米。 (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%。 (参考数据：≈,≈,≈) 思路点拨： 关键信息是： ① 每年新建住房面积平均比上一年增长 8%， 说明新建住房面积构成等比数列模型； ② 中低价房的面积均比上一年增加 50万平方米 ， 说明中低价房的面积构成等差数列模型 ． 解： ( 1 ) 设中低价房面积形成数列 { a n } ， 由题意可知 { a n } 是等差数列 ， 其中 a 1 ＝ 250 ， d＝ 50 ， 则 S n ＝ 250 n ＋n  n － 1 2 50 ＝ 25 n2＋ 225 n ， 令 25 n2＋ 225 n ≥ 4 750 ， 即 n2＋ 9 n － 1 90 ≥ 0 ， 而 n 是正整数 ， ∴ n ≥ 1 0. ∴ 到 2 017 年底 ， 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米 ． (2)设新建住房面积形成数列 {bn}， 由题意可知 {bn}是等比数列 ， 其中 b1＝ 400， q＝ ， 则 bn＝ 400 ()n－ 1. 由题意可知 an， 有 250＋ (n－ 1) 50400 ()n－ 1 . 当 n＝ 5时 ， a5， 当 n＝ 6时 ， a6， ∴ 满足上述不等式的最小正整数 n为 6. ∴ 到 2020年底 ， 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题 ， 通过反复读题 ， 列出有关信息 ， 转化为数列的有关问题 ， 这恰好是数学实际应用的具体体现 ． 【 例题 】 (2020年高考湖北卷 )已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位：m2)， 其中有部分旧住房需要拆除 ． 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房 ， 同时也拆除面积为 b(单位： m2)的旧住房 ． (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式； (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%， 则每年拆除的旧住房面积 b是多少。 (计算时取 ＝ ) 解： ( 1 ) 第一年末的住房面积为 a 1110－ b ＝ ( a － b )( m 2 ) ． 第二年末的住房面积为 ( a 1110－ b ) 1110－ b ＝ a (1110) 2 － b ( 1 ＋1110) ＝ ( a － 2. 1 b )( m 2 ) ． ( 2 ) 第三年 末的住房面积为 [ a (1110)2－ b ( 1 ＋1110)]1110－ b ＝ a (1110)3－ b [ 1 ＋1110＋ (1110)2] ． 第四年末的住房面积为 a (1110)4－ b [ 1 ＋1110＋ (1110)2＋ (1110)3] ． 第五年末的住房面积为 a (1110)5－ b [ 1 ＋1110＋ (1110)2＋ (1110)3＋ (1110)4] ＝ 5a －1 － 51 － b ＝ a － 6 b ， 依题意可知 ， 1. 6 a － 6 b ＝ 1. 3 a ， 解得 b ＝a20， 所以每年拆除的旧住房面积为a20( m2) ． 错源：忽视了数列与函数的区别 【例题】 已知 { a n } 是递增数列 ， 且对任意 n ∈ N*都有 a n ＝ n。