高一数学平面向量的概念及线性运算

高一数学平面向量的概念及线性运算内容摘要：

→ ＝ BC―→ ＋ CD―→ ＝ 2a＋ 8b＋ 3(a－ b) ＝ 2a＋ 8b＋ 3a－ 3b＝ 5(a＋ b)＝ 5AB―→ . ∴ AB―→ 、 BD―→ 共线 ， 又 ∵ 它们有公共点 B， ∴ A、 B、 D三点共线 ． (2)解： ∵ ka＋ b与 a＋ kb共线 ， ∴ 存在实数 λ， 使 ka＋ b＝ λ(a＋ kb)， 即 ka＋ b＝ λa＋ λkb.∴ (k－ λ)a＝ (λk－ 1)b. ∵ a、 b是不共线的两个非零向量 ， ∴ k－ λ＝ λk－ 1＝ 0， ∴ k2－ 1＝ 0.∴ k＝ 177。 1. (1)证明三点共线问题 ， 可用向量共线解决 ， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 ， 当两向量共线且有公共点时 ， 才能得出三点共线 ． (2)向量 a、 b共线是指存在不全为零的实数 λ1， λ2使 λ1a＋ λ2b＝ 0成立 ， 若 λ1a＋ λ2b＝ 0当且仅当 λ1＝ λ2＝ 0时成立 ， 则向量 a、 b不共线 ． 变式探究 31： 已知向量 a、 b不共线 ， c＝ ka＋ b(k∈ R)， d＝ a－ b， 如果 c∥ d， 那么 ( ) (A)k＝ 1且 c与 d同向 (B)k＝ 1且 c与 d反向 (C)k＝－ 1且 c与 d同向 (D)k＝－ 1且 c与 d反向 解析： ∵ c＝ ka＋ b， d＝ a－ b， 而 c∥ d， 综合四个选项 ， 当 k＝ 1时 ， 可知 c不平行于 d，当 k＝－ 1时 ， c与 d反向 ， 故选 D. 【 例 1】 (2020年高考四川卷 )设点 M是线段 BC的中点 ， 点 A在直线 BC外 ， BC―→ 2＝ 16，|AB―→ ＋ AC―→| ＝ |AB―→ － AC―→| ， 则 |AM―→| 等于 ( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 解析： 如图，以 AB 、 AC 为邻边构造平行四边形 AB D C ，由 BC ― → 2 ＝ 16 ，得 |BC ― → |＝ 4 ，又 AB ― → ＋ AC ― → ＝ AD ― → ， AB ― → － AC ― → ＝ CB ― → ， |AB ― → ＋ AC ― → |＝ |AB ― →－ AC ― → |，所以 |AD ― → |＝ |BC ― → |，即四边形 AB D C 为矩形 ． ∴ |AM ― → |＝12 |AD ― → |＝12 |BC ― → |＝ 2. 故选 C. 【 例 2】 (2020年安徽师大附中二模 )设 O在 △ ABC的内部，且 OA―→ ＋ OB―→ ＋2OC―→ ＝ 0，则 △ ABC的面积与 △ AOC的面积之比为 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析： 由 OC ― → ＝－12( OA ― → ＋ OB ― → ) ，设 D 为 AB 的中点， 则 OD ― → ＝12( OA ― → ＋ OB ― → ) ， ∴ OD ― → ＝－ OC ― → ， ∴ O 为 CD 的中点， ∴ S △ A OC ＝12S △ A DC ＝14S △ ABC ， ∴S △ ABCS △ A OC＝ 4. 故选 B. 错源一：零向量 “ 惹的祸 ” 【 例 1】 下列命题正确的是 ( ) (A)向量 a、 b共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ， 使 b＝ λa； (B)在 △ ABC中 ， AB―→ ＋ BC―→ ＋ CA―→ ＝ 0； (C)不等式 ||a|－ |b||≤|a＋ b|≤|a|＋ |b|中两个等号不可能同时成立； (D)向量 a、 b不共线 ， 则向量 a＋ b与向量 a－ b必不共线 错解一： a、 b共线 ， 必然是有且只有一个实数 λ， 使 b＝ λa， 故选 A. 错解二： 首尾相连 ， 始终如一 ． 在 △ ABC中 ， AB―→ 、 BC―→ 、 CA―→ 围成了一个封闭图形 ， 故 AB―→ ＋ BC―→ ＋ CA―→ ＝ 0， 故选 B. 错解三： 当 a与 b同向时 ， 式子中第一个等号不成立；当 a与 b反向时 ， 式子中第二个等号不成立 ， 当两个向量不共线时 ， 两个等号都不成立 ， 故两个等号不可能同时成立 ，故选 C. 错解分析： 错解一，忽视了 a ≠ 0 这一条件 ． 错解二，忽视了 0 与 0 的区别， AB ― → ＋BC ― → ＋ CA ― → ＝ 0 ；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a ＝ 0 或 b ＝ 0 时，两个等号同时成立 ． 正解： ∵ 向量 a 与 b 不共线， ∴ a ， b ， a ＋ b 与 a － b 均不为零向量 ． 若 a ＋ b 与 a － b 平行，则存在实数 λ ，使 a ＋ b ＝ λ ( a － b ) ，即 ( λ － 1 ) a ＝ ( 1 ＋ λ ) b ， ∴ λ － 1 ＝ 01 ＋ λ ＝ 0， λ 无解，故假设不成立，即 a ＋ b 与 a － b 不平行，故选 D.。