三角函数的最值

三角函数的最值内容摘要：

解得 a= (舍去 ). 13 20 综上所述 a= . 3 2 4sin2xcos4xa=0 恒有实数解 , 求 a 的取值范围 . 解法 1 从方程有解的角度考虑 . 原方程即为 : 2cos22x+2cos2x3+a=0. 令 t=cos2x, 则 |t|≤ 1, 且 2t2+2t3+a=0 恒有解 . 解得 : 1≤ a≤ . 7 2 解法 2 从二次函数图象及性质考虑 . 问题转化为 : “a 为何值时 , f(t)=2t2+2t+a3 的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在 [1, 1] 内 .” ∵ f(t) 图象的对称轴为直线 t= , 1 2 △ =4(72a)≥ 0, 2+ 4(72a) 4 | |≤ 1, ∴ △ =4(72a)≥ 0, 2 4(72a) 4 | |≤ 1, 或 解得 : 1≤ a≤ . 7 2 △ ≥ 0, ∴ f(1)≥ 0, f(1)0. f(1)≥ 0, 或 4sin2xcos4xa=0 恒有实数解 , 求 a 的取值范围 . 解法 3 正难则反 , 从反面考虑 . ∵ f(t) 图象的对称轴为直线 t= , 1 2 若方程 f(t)=2t2+2t+a3=0 的两根均在 [1, 1] 之外 , 则 7 2 当 △ =4(72a)≥ 0, 即 a≤ 时 , ∴ f(1)0. 解得 : a1. 故满足条件的 a 的取值范围是 [1, ]. 7 2 解法 4 从分离参数的角度考虑 . 原方程即为 : a=2cos22x2cos2x+3 7 2 =2(cos2x+ )2+ . 1 2 ∵ |cos2x|≤ 1, ∴ 1≤ a≤ . 7 2 课后练习 f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值 . sin4x+cos4x+sin2xcos2x 2sin2x (sin2x+cos2x)2sin2xcos2x 22sinxcosx 解 : 由已知 f(x)= 1sin2xcos2x 2(1sinxcosx) == (1+sinxcosx) 1 2 1 2 = sin2x+ . 1 4 ∴ f(x) 的最小正周期为 . ∴ 当 2x=2k+ 即 x=k+ (kZ) 时 , f(x) 取最大值。 4  2  3 4 ∴ 当 2x=2k 即 x=k (kZ) 时 , f(x) 取最小值 . 4  2  1 4 解 : 由已知当 a0 时 , bsinx+acosx=3sinx+4cosx=5sin(x+) y=acosx+b(a, b为常数 ), 若 7≤ y≤ 1, 求 bsinx+acosx 的最大值 . 解得 a=4, b=3, 此时 , a+b=1, a+b=7, (tan= ). 4 3 当 a0 时 , bsinx+acosx=3sinx4cosx=5sin(x+) 解得 a=4, b=3, 此时 , a+b=7, a+b=1, (tan= ). 4 3 当 a=0 时 , 不合题意 . 综上所述 , bsinx+acosx 的最大值为 5. 解 : y=1sin2x2asinxa=(sinx+a)2+a2a+1. 令 sinx=t, 则 y=(t+a)2+a2a+1(1≤ t≤ 1). 若 a1, 即 a1, 则当 t=1 时 , y 有最大值 y=cos2x2asinxa(a 为定值 )的最大值 M. M=(1+a)2+a2a+1=a。 若 1≤ a≤ 1, 即 1≤ a≤ 1, 则当 t=a。