综合题等腰三角形

综合题等腰三角形内容摘要：

MNF 中，由勾股定理得： NF2+MN2=MF2， 即：（ 2﹣ x） 2+1=x2，解得： x= ， ∴FD= ， OF=OD﹣ FD=4﹣ = ， ∴F （ ， 0）； （ II）若 FD=DM．如答图 3所示： 此时 FD=DM= ， ∴OF=OD ﹣ FD=4﹣ ． ∴F （ 4﹣ ， 0）； （ III）若 FM=MD． 由抛物线对称性可知，此时点 F与原点 O重合． 而由题意可知，点 E与点 A重合后即停止运动，故点 F不可能运动到原点 O． ∴ 此种情形不存在． 综上所述，存在点 F（ ， 0）或 F（ 4﹣ ， 0），使 △DMF 为等腰三角形． ，点 P是直线 l ： 22  xy 上的点，过点 P的另一条直线 m 交抛物线 2xy 于 A、B两点． （ 1）若直线 m 的解析式为 2321  xy ，求 A、 B两点的坐标； （ 2）①若点 P的坐标为（－ 2， t ），当 PA＝ AB 时，请直接写出点 A的坐标； ②试证明：对于直线 l 上任意给定的一点 P，在抛物线上都能找到点 A，使得 PA＝ AB成立． （ 3）设直线 l 交 y 轴于点 C，若△ AOB的外心在边 AB上，且∠ BPC＝∠ OCP，求点 P的坐标． xy第 25 （ 1 ） 题图OlmPBAxylO第 25 （ 2 ） 题图xyClmPAOB第 25 （ 3 ） 题图 解：（ 1）依题意，得.,23212xyxy 解得492311yx ， 1122yx ∴ A（ 23 ， 49 ）， B（ 1， 1）． （ 2）① A1（－ 1， 1）， A2（－ 3， 9）． ②过点 P、 B 分别作过点 A且平行于 x 轴的直线的垂线 ，垂足分别为 G、 H. 设 P（ a ， 22  a ）， A（ m ， 2m ），∵ PA＝ PB，∴△ PAG≌△ BAH， ∴ AG＝ AH， PG＝ BH，∴ B（ am2 ， 222 2  am ）， 将点 B 坐标代入抛物线 2xy ，得 02242 22  aaamm ， ∵△＝     08181616822816 2222  aaaaaa ∴无论 a 为何值时，关于 m 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的 点 P，抛物线上总能找到两个满足条件的点 A． （ 3）设直线 m ：  0 kbkxy 交 y 轴于 D，设 A（ m ， 2m ）， B（ n ， 2n ）． 过 A、 B 两点分别作 AG、 BH 垂直 x 轴于 G、 H． ∵△ AOB 的外心在 AB 上，∴∠ AOB＝ 90176。 ， 由△ AGO∽△ OHB，得 BHOHOGAG ，∴ 1mn ． 联立  2xybkxy 得 02  bkxx ，依题意， 得 m 、 n 是方程 02  bkxx 的两根，∴ bmn ，∴ 1b ，即 D（ 0， 1）． ∵∠ BPC＝∠ OCP，∴ DP＝ DC＝ 3． P 设 P（ a ， 22  a ），过点 P 作 PQ⊥ y 轴于 Q，在 Rt△ PDQ 中， 222 PDDQPQ  ， ∴   222 3122  aa ．∴ 01a （舍去）， 5122 a，∴ P（ 512 ， 514 ）． ∵ PN平分∠ MNQ，∴ PT＝ NT，∴  ttt  2221 2 ， xyPGHABO第 25 （ 2 ） 题图xyHGQ第 25 （ 3 ） 题图BOAPmlC 7．已知两个共一个顶点的等腰 Rt△ ABC， Rt△ CEF， ∠ ABC=∠ CEF=90176。 ，连接 AF， M是 AF的中点，连接 MB、 ME． （ 1）如图 1，当 CB与 CE在同一直线上时，求证： MB∥ CF； （ 2）如图 1，若 CB=a， CE=2a，求 BM， ME的长； （ 3）如图 2，当 ∠ BCE=45176。 时，求证： BM=ME． 考点 ： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析： （ 1）证法一：如答图 1a所示，延长 AB交 CF于点 D，证明 BM为 △ ADF的中位线即可； 证法二：如答图 1b所示，延长 BM交 EF于 D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得 AB∥ EF，再根据两直线平行，内错角相等可得 ∠ BAM=∠ DFM，根据中点定义可得 AM=MF，然后利用 “ 角边角 ” 证明 △ ABM和 △ FDM全等，再根据全等三 角形对应边相等可得 AB=DF，然后求出 BE=DE，从而得到 △ BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出 ∠ EBM=45176。 ，从而得到 ∠ EBM=∠ ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明 MB∥ CF即可， （ 2）解法一：如答图 2a 所示，作辅助线，推出 BM、 ME 是两条中位线； 解法二：先求出 BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得 BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得 EM⊥ BD，求出 △ BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （ 3）证法一：如答图 3a所示，作辅助线，推出 BM、 ME是两条中位线： BM= DF， ME= AG；然后证明 △ ACG≌△ DCF，得到 DF=AG，从而证明 BM=ME； 证法二：如答图 3b所示，延长 BM 交 CF于 D，连接 BE、 DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出 AB∥ CF，再根据两直线平行，内错角相等求出 ∠ BAM=∠ DFM，根据中点定义可得 AM=MF，然后利用 “ 角边角 ” 证明 △ ABM和 △ FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得 AB=DF， BM=DM，再根据 “ 边角边 ” 证明 △ BCE和 △ DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE=DE，全等三角形对应角相等可得 ∠ BEC=∠ DEF，然后求出 ∠BED=∠ CEF=90176。 ，再根据等腰直角三角形的性质证明即可． 解答： （ 1）证法一： 如答图 1a，延长 AB交 CF于点 D，则易知 △ ABC与 △ BCD均为等腰直角三角形， ∴ AB=BC=BD， ∴ 点 B为线段 AD的中点， 又 ∵ 点 M为线段 AF的中点， ∴ BM为 △ ADF的中位线， ∴ BM∥ CF． 证法二： 如答图 1b，延长 BM交 EF于 D， ∵∠ ABC=∠ CEF=90176。 ， ∴ AB⊥ CE， EF⊥ CE， ∴ AB∥ EF， ∴∠ BAM=∠ DFM， ∵ M是 AF的中点， ∴ AM=MF， ∵ 在 △ ABM和 △ FDM中， ， ∴△ ABM≌△ FDM（ ASA）， ∴ AB=DF， ∵ BE=CE﹣ BC， DE=EF﹣ DF， ∴ BE=DE， ∴△ BDE是等腰直角三角形， ∴∠ EBM=45176。 ， ∵ 在等腰直角 △ CEF中， ∠ ECF=45176。 ， ∴∠ EBM=∠ ECF， ∴ MB∥ CF； （ 2）解法一： 如答图 2a所示，延长 AB 交 CF于点 D，则易知 △ BCD与 △ ABC为等腰直角三角形， ∴ AB=BC=BD=a， AC=AD= a， ∴ 点 B为 AD中点，又点 M为 AF中点， ∴ BM= DF． 分别延长 FE与 CA交于点 G，则易知 △ CEF与 △ CEG均为等腰直角三角形， ∴ CE=EF=GE=2a， CG=CF= a， ∴ 点 E为 FG中点，又点 M为 AF中点， ∴ ME= AG． ∵ CG=CF= a， CA=CD= a， ∴ AG=DF= a， ∴ BM=ME= a。