第7部分立体几何

第7部分立体几何内容摘要：

AG , 则 PGA 是二面角 P DE A的平面角， ∴ 45PGA ，……… 10分 ∵ PD 与平面 ABCD 所成角是 30 ，∴ 30PDA ， ∴ 3AD ， 1PA AB. ∴ 1AG ， 2DG ，设 BE x ，则 GE x ， 3CE x， 在 Rt DCE 中，    22 22 3 1xx   ， 得 32BE x  . ……… 12分 解法二 :（向量法）（Ⅰ）同解法一……………… 4分 （Ⅱ）建立图示空间直角坐标系，则  0,0,1P ，  0,1,0B ， 110, ,22F，  3,0,0D . 设 BE x ，则  ,1,0Ex 0)21,21,0()1,1,(   xAFPE ∴ AF PE ……… 8分 （Ⅲ）设平面 PDE 的法向量为  , ,1m p q ，由  00PEmPDm ，得： 1 ,1 ,133xm ，而平面 ADE 的法向量为 )1,0,0(AP ,∵二面角 P DE A的大小是 45 ,所以45cos =||||||22 APm APm ，∴21121 113 3x  ， 得 32BE x   或 23  xBE （舍） . ……………… 12分 3． （宁夏 09） （本小题满分 12分）已知某几何体的三视图如下图所示， 其中俯视图为正三角形 ,设 D为 AA1的中点。 （ 1）作出该几何体的直观图并求其体积； （ 2）求证：平面 BB1C1C⊥平面 BDC1； （ 3） BC边上是否存在点 P，使 AP//平面 BDC1。 若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。 答案： ：由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如上图所示。 ∵几何体的底面积 .33,3,3  VhS 所求体积高 ………… 5分 （ 2）证明：连结 B1C交 BC1于 E点，则 E为 BC B1C的中点，连结 DE。 ∵ AD=A1D， AB=A1C1，∠ BAD=∠ DA1C1=90176。 ∴△ ABD≌△ DA1C1，∴ BD=DC1， ∴ DE⊥ BC1。 ………… 7分 同理 DE⊥ B1C 又∵ B1C∩ BC1=E， ∴ DE⊥面 BB1C1C， 又∵ DE 面 BDC1，∴面 BDC1⊥面 BB1C1C ………… 10分 （ 3）解：取 BC的中点 P，连结 AP，则 AP∥平面 BDC1 ………… 12分 证明：连结 PE，则 PE 平行且等于 AD， ∴四边形 APED为平行四边形，∴ AP∥ DE，又 DE 平面 BDC1， AP 平面 BDC1， ∴ AP∥平面 BDC1。 4．（宁夏 09）（本小题满分 12分）如图，在底面是 正方形的四棱锥 P— ABCD中， PA=AC=2，PB=PD= .6 （ 1）证明 PA⊥平面 ABCD； （ 2）已知点 E在 PD上，且 PE:ED=2:1，点 F为棱 PC 的中点，证明 BF//平面 AEC。 H A B C D E F G P （ 3）求四面体 FACD的体积。 答案：证明：（ I）因为在正方形 ABCD中， AC=2 ∴ AB=AD= 2 可得：在△ PAB中， PA2+AB2=PB2=6。 所以 PA⊥ AB 同理可证 PA⊥ AD 故 PA⊥平面 ABCD （ 4分） （ II）取 PE中点 M，连接 FM， BM， 连接 BD交 AC于 O，连接 OE ∵ F， M分别是 PC， PF 的中点， ∴ FM∥ CE， 又 FM 面 AEC， CE 面 AEC ∴ FM∥面 AEC 又 E是 DM的中点 OE∥ BM， OE 面 AEC， BM 面 AEC ∴ BM∥面 AEC且 BM∩ FM=M ∴平面 BFM∥平面 ACE 又 BF 平面 BFM，∴ BF∥平面 ACE （ 4分） （ 3）连接 FO，则 FO∥ PA，因为 PA⊥平面 ABCD，则 FO⊥平面 ABCD，所以 FO=1， S⊿ ACD=1， ∴ VFACD=VF—— ACD=。