高一数学数列中的综合问题

高一数学数列中的综合问题内容摘要：

1＝bn( 1 － an) ( 1 ＋ an)，故 1 － an ＋ 1＝1 － an( 1 － an) ( 1 ＋ an)，即 1 － an ＋ 1＝11 ＋ an，即 (1 － an ＋ 1)(1＋ an) ＝ 1 ，即 an－ an ＋ 1＝ anan ＋ 1，即1an ＋ 1－1an＝ 1 ，故数列1an是首项为 4 ，公差为 1 的等差数列，故1an＝ 4 ＋ ( n － 1) ＝ n ＋ 3 ，故 an＝1n ＋ 3， bn＝ 1 －1n ＋ 3＝n ＋ 2n ＋ 3. 第 28讲 │ 要点探究 (2) 根据 (1) 得 Sn＝ a1a2＋ a2a3＋ … ＋ anan ＋ 1 ＝14 5＋15 6＋ … ＋1( n ＋ 3 ) ( n ＋ 4 ) ＝14－1n ＋ 4＝n4 ( n ＋ 4 )， ∴ 4 aSn－ bn＝ann ＋ 4－n ＋ 2n ＋ 3＝( a － 1 ) n2＋ ( 3 a － 6 ) n － 8( n ＋ 3 ) ( n ＋ 4 ). 由条件可知 ( a － 1) n2＋ (3 a － 6) n － 8 0 恒成立即可满足条件，设 f ( n ) ＝ ( a － 1) n2＋ (3 a － 6) n － 8 ， 第 28讲 │ 要点探究 当 a ＝ 1 时， f ( n ) ＝－ 3 n － 80 恒成立； 当 a 1 时，由二次函数的性质知不可能成立； 当 a 1 时，对称轴 n ＝－32a － 2a － 1＝ －321 －1a － 10 ， f ( n ) 在 (1 ，＋ ∞) 为单调递减函数， 令 f (1) ＝ ( a － 1) n2＋ (3 a － 6) n － 8 ＝ ( a － 1) ＋ (3 a － 6) － 8 ＝ 4 a －150 ， ∴ a 154， ∴ a 1 时 4 aSn bn恒成立． 综上知 a ≤1 时， 4 aSn bn恒成立． 第 28讲 │ 要点探究 [ 2020 珠海模拟 ] 已知数列 an 中， a1＝ 1 ， an ＋ 1＝an2 an＋ 1 ( n∈ N*) ． (1) 求数列 an 的通项公式 an； (2) 设2bn＝1an＋ 1 ，求数列bnbn ＋ 1 的前 n 项和 Tn； (3) 已知 Pn＝ (1 ＋ b1)(1 ＋ b3)(1 ＋ b5) … ( 1 ＋ b2 n － 1) ，求证：Pn 2 n ＋ 1 . 第 28讲 │ 要点探究 [ 解答 ] (1) 由 an ＋ 1＝an2 an＋ 1得1an ＋ 1－1an＝ 2 ，且1a1＝ 1 ，所以知数列1an是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 所以1an。