高一数学同角三角函数的基本关系与诱导公式

高一数学同角三角函数的基本关系与诱导公式内容摘要：

s in α － c o s α )2＝ 1 － 2 s i n α c o s α ＝ 1 － ( －79) ＝169， ∴ s in α － c o s α ＝43. ( 2 ) s in3(π2－ α ) ＋ c o s3(π2＋ α ) ＝ c o s3α － s i n3α ＝ ( c o s α － s i n α )( c o s2α ＋ c o s α s in α ＋ s in2α ) ＝－43 ( 1 －718) ＝－2227. 当已知 s i n α ＋ co s α ( 或 s i n α － co s α ) 的值，求 s i n α － co s α ( 或 s i n α ＋ co s α ) 或 s i n α co s α 的值时，常采用整体思想，即将其两边平方，所以 s i n α c o s α 与 s i n α 177。 c o s α 及 s i n 2 α ＋ co s 2 α ＝ 1 之间存在必然的联系，即 s i n α c o s α ＝12[ ( s i n α ＋ c o s α ) 2 － 1] ＝12[1 － ( s i n α － co s α ) 2 ] ，运用此结论，可“ 知一求二 ” 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年高考全国卷 Ⅰ ) 记 c o s ( － 8 0 176。 ) ＝ k ， 那么 t a n 1 0 0 176。 等于 ( ) ( A )1 － k 2k ( B ) －1 － k 2k ( C )k1 － k 2 ( D ) －k1 － k 2 解析： ∵ c o s ( － 80176。 ) ＝ k ， ∴ c o s 8 0 176。 ＝ k ， ∴ s in 8 0 176。 ＝ 1 － k2， ∴ ta n 8 0 176。 ＝s in 8 0 176。 c o s 8 0 176。 ＝1 － k2k， ∴ ta n 1 0 0 176。 ＝ t a n ( 1 8 0 176。 － 8 0 176。 ) ＝－ ta n 8 0 176。 ＝－1 － k2k，故选 B. 【例 2 】 ( 2 0 1 1 年安徽合肥市模拟 ) 已知 s i n α 是方程 5 x 2 － 7 x － 6 ＝ 0 的一个根 ， 且 α 是第三象限角 ， 则s i n  － α －3π2 c o s 3π2－ α  t a n 2  π － α co s π2－ α  s i n π2＋ α ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析： ∵ 方程 5 x2－ 7 x － 6 ＝ 0 的根为 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝－35，由题意知， s i n α ＝－35， ∴ c o s α ＝－45， t a n α ＝34. ∴ 原式＝co s α  － s i n α  t an2αs i n α c o s α＝－ t a n2α ＝－916. 答案： －916 【例 3 】 ( 2020 年济南市模拟 ) 在 △ ABC 中 ， 若 s i n ( 2π － A ) ＝－ 2 s i n ( π － B ) ， 3 co s A ＝－ 2 co s ( π － B ) ， 则角 C 等于 ( ) ( A )56π ( B )π6 ( C )π12 ( D )7π12 解析： 由已知得 s in A ＝ 2 s in B ，3 c o s A ＝ 2 c o s B . ①② ①2＋ ②2得 2 c o s2A ＝ 1 ， 即 c o s A ＝ 177。 22. ( 1 ) 当 c o s A ＝22时， c o s B ＝32， 又 A 、 B 是三角形内角， ∴ A ＝π4， B ＝π6， ∴ C ＝ π － ( A ＋ B ) ＝712π. ( 2 ) 当 c o s A ＝－22时， c o s B ＝－32. 又 A 、 B 是三角形内角， ∴ A ＝34π ， B ＝56π ，不合题意 ． 所以 C ＝712π ，故选 D. 错源：非等价变形产生增解 【例题】 已知 θ ∈ ( 0 ， π ) ， s i n θ ＋ co s θ ＝3 － 12， 则 t a n θ 的值为 ( ) ( A ) － 3 或 －33 ( B ) －33 ( C ) － 3 ( D ) －32 错解： 由 s in θ ＋ c o s θ ＝3 － 12两边平方得： 1 ＋ 2 s in θ c o s θ ＝ 1 －32，即 s in θ c o s θ ＝－34， ∴ s in θ c o s θ ＝s in θ c o s θs in2θ ＋ c o s2θ＝tan θ1 ＋ ta n2θ＝－34 解之得 ta n θ ＝－ 3 或 ta n θ ＝－33，故选 A.。