高一数学三角函数的性质

高一数学三角函数的性质内容摘要：

12. ∴ y ＝ 2 s i n (12x ＋ φ ) ． 又曲线上的最高点为 (π2， 2 ) ， ∴ si n (12π2＋ φ ) ＝ 1 ， ∴ φ ＋π4＝ 2 k π ＋π2， k ∈ Z . ∵ －π2 φ π2， ∴ φ ＝π4. ∴ y ＝ 2 si n (12x ＋π4) ． ( 2 ) 令 2 k π －π2≤12x ＋π4≤ 2 k π ＋π2， k ∈ Z ， ∴ 4 k π －3π2≤ x ≤ 4 k π ＋π2， k ∈ Z . ∴ 函数 y ＝ 2 si n (12x ＋π4) 的单调递增区间为 [ 4 k π －3π2， 4 k π ＋π2]( k ∈ Z ) ． 令 2 k π ＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋ 2 k π ， k ∈ Z ， ∴ 4 k π ＋π2≤ x ≤ 4 k π ＋5π2， k ∈ Z . ∴ 函数 y ＝ 2 s i n (12x ＋π4) 的单调递减区间为 [ 4 k π ＋π2， 4 k π ＋5π2]( k ∈ Z ) ． 求形如 y ＝ A si n ( ωx ＋ φ )( A 0 ， ω 0 ) 的函数的单调区间 ，基本思路是把 ωx ＋ φ 看作一个整体，由－π2 ＋ 2 k π ≤ ωx ＋ φ ≤π2 ＋ 2 k π ( k ∈ Z ) 求得函数的增区间，由π2 ＋ 2 k π ≤ ωx ＋ φ ≤3π2 ＋ 2 k π ( k∈ Z ) 求得函数的减区间 ． 若在 y ＝ A si n ( ωx ＋ φ ) 中， ω 0 ，则应先利用诱导公式将解析式转化，使 x 的系数变为正数，再进行求解 ． 【 例题 】 已知向量 a＝ (cos x－ 3， sin x)， b＝ (cos x， sin x－ 3)， f(x)＝ ab. (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值； (2)若 x∈ [－ π， 0]，求函数 f(x)的单调递增区间． 解： ( 1 ) f ( x ) ＝ a b ＝ ( cos x － 3 ， si n x ) ( cos x ， si n x － 3 ) ＝ cos 2 x － 3cos x ＋ si n 2 x － 3s i n x ＝ 1 － 3 ( si n x ＋ cos x ) ＝ 1 － 3 2 si n ( x ＋π4) ， ∴ 函数 f ( x ) 的最小正周期为 2π ， 最大值为 1 ＋ 3 2 ， 最小值为 1 － 3 2 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 f ( x ) ＝ 1 － 3 2 si n ( x ＋π4) ， 由 2 k π ＋π2≤ x ＋π4≤ 2 k π ＋3π2( k ∈ Z ) 得 2 k π ＋π4≤ x ≤ 2 k π ＋5π4( k ∈ Z ) ， 又 ∵ x ∈ [ － π ， 0] ， ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ － π ，－3π4] ． 错源：忽视 “ 内 ”“ 外 ” 单调规律，盲目套用结论 【例题】 函数 y ＝ s i n ( － 2 x ＋ π3 ) 的递减区间是 __ __ __ __ ． 错解： 令 2 k π ＋π2≤ － 2 x ＋π3≤ 2 k π ＋3π2， 解得－ k π －7π12≤ x ≤ － k π －π12， k ∈ Z ， 所以函数的递减区间是 [ － k π －7π12，－ k π －π12]( k ∈ Z ) ． 错解分析： 本题的错误在于解题中没有对函数 y ＝ s i n ( － 2 x ＋π3 ) 的解析式进行转化，盲目套用结论而导致的，事实上，该函数是由 y ＝ s i n u ， u ＝－ 2 x ＋π3 两个函数复合而成的，而 u＝－ 2 x ＋π3 是递减的，这样令 2 k π ＋π2 ≤ u ≤ 2 k π ＋3π2 ， k ∈ Z ，求得的并不是原函数的递减区间 ． 正解： 由于 y ＝ si n ( － 2 x ＋π3) ＝－ si n ( 2 x －π3) ， 即求 y ＝－ si n ( 2 x －π3) 的单调递减区间， 也就是求 v ＝ si n ( 2 x －π3) 的递增区间， 由 2 k π －π2≤ 2 x －π3≤ 2 k π ＋π2， 得 k π －π12≤ x ≤ k π ＋5π12， ( k ∈ Z ) ． 故应填 [ k π －π12， k π ＋5π12]( k ∈ Z ) ． 答案： [ k π －π12， k π ＋5π12]( k ∈ Z ) (对应学生用书第 261页 ) 【 选题明细表 】 知识点、方法 题号 三角函数的值域、最值 2 三角函数的周期、奇偶性 4 三角函数的单调性 9 性质的综合应用 10 一、选择题 1 ． ( 201 0 年湘潭五模 ) 函数 f ( x ) ＝ s i n 2 x － cos 2 x 的最小正周期是 ( B ) ( A )π2 ( B ) π ( C ) 2π ( D ) 4π 2 ． ( 2020 年高考江西卷 ) 若函数 f ( x ) ＝ ( 1 ＋ 3 t an x ) cos x , 0 ≤ x π2 ，。