九年级数学二次函数专题复习

九年级数学二次函数专题复习内容摘要：

据不同条件，设出恰当的解析式： • 若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 • 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 • 若给出抛物线与 x轴的交点或对称轴或与 x轴的交点距离，通常可设交点式。 例 1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 AB为 ，涵洞顶点 O到水面的距离为 ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么。 分析 如图，以 AB的垂直平分线为 y轴，以过点 O的 y轴的垂线为 x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是 y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 y=ax2(a0)． 此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式． ． x y O A B 解 :以 AB的垂直平分线为 y轴，以过顶点 O的 y轴的垂线为 x轴，建立如图所示直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是 y轴，开口向下，所以设它的函数关系式是 y=ax2(a0)．由题意，得点B的坐标为（ ， ），又因为点 B在抛物线上，所以 解得 : 因此，函数关系式是 例 1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 AB为 ，涵洞顶点 O到水面的距离为 ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么。 x y O A B 例 2．已知二次函数的图象经过点 A(0,1)、B(1,0)、 C(1,2)；求它的关系式． 分析 :根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为 y＝ ax2＋ bx＋ c的形式 例 2．已知二次函数的图象经过点 A(0,1)、B(1,0)、 C(1,2)；求它的关系式． 解 :设二次函数关系式 y＝ ax2＋ bx＋ c ，由已知，这个函数的图象过（ 0， 1），可以得到 c= 1．又由于其图象过点（ 1， 0）、（ 1， 2）两点，可以得到 解这个方程组，得 a=2， b= 1． 所以，所求二次函数的关系式是 y＝ 2x2－ x－ 1 例 3．已知抛物线的顶点为 (1， 3)，且与 y轴交于点 (0， 1)，求这个二次函数的解析式 分析 :根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为 y＝ a(x－ 1)2－ 3，再根据抛物线与 y轴的交点可求出 a的值； 例 3．已知抛物线的顶点为 (1， 3)，且与 y轴交于点 (0， 1)，求这个二次函数的解析式 解 :因为抛物线的顶点为 (1， 3)，所以设二此函数的关系式为 y＝ a(x－ 1)2－ 3，又由于抛物线与 y轴交于点 (0， 1)，可以得到 1＝ a(0－ 1)2－ 3 解得 a＝ 4 所以，所求二次函数的关系式是 y＝ 4(x－ 1)2－ 3． 即 y＝ 4x2－ 8x＋ 1 例 4．已知抛物线的顶点为 (3， 2)，且与 x轴两交点间的距离为 4，求它的解析式． 分析 :根据已知抛物线的顶点坐标 (3， 2)，可设函数关系式为 y＝ a(x－ 3)2－ 2，同时可知抛物线的对称轴为 x=3，再由与 x轴两交点间的距离为 4，可得抛物线与 x轴的两个交点为（ 1， 0）和（ 5， 0），任选一个代入 y＝ a(x－ 3)2－ 2，即可求出 a的值． 例 5．已知抛物线与 x轴交于点 M(3， 0)、 (5， 0)， 且与 y轴交于点 (0， 3)．求它的解析式 方法 1，因为已知抛物线上三个点，所以可设函数关系式为一般式 y＝ ax2＋ bx＋ c，把三个点的坐标代入后求出 a、 b、 c，就可得抛物线的解析式。 方法 2，根据抛物线与 x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为 y＝ a(x＋ 3)(x－ 5)，再根据抛物线与 y轴的交点可求出 a的值； 分析 : 例 6．有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为 16m，跨度为 40m．现把它的图形放在坐标系里 (如图所示 )，求抛物线的解析式． 设抛物线为 y=a(x20)2＋ 16 解： 根据题意可知 ∵ 点 (0， 0)在抛物线上， 通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活 评价 ∴ 所求抛物线解析式为 设抛物线的解析式为 y=ax2＋ bx＋ c， 解： 根据题意可知 抛物线经过 (0， 0)， (20， 16)和 (40， 0)三点 可得方程组 通过利用给定的条件 列出 a、 b、 c的三元 一次方程组，求出 a、 b、 c的值，从而确定 函数的解析式． 过程较繁杂， 评价 例 6．有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为 16m，跨度为 40m．现把它的图形放在坐标系里 (如图所示 )，求抛物线的解析式． 设抛物线为 y=ax(x40 ） 解： 根据题意可知 ∵ 点 (20， 16)在抛物线上， 选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷 评价 例 6．有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为 16m，跨度为 40m．现把它的图形放在坐标系里 (如图所示 )，求抛物线的解析式． 专题四 二次函数创新题  随着新课改的深入，各地中考试题更加灵活和开放，更加注重应用和创新，不仅使试题设计有更多的创新，并且也通过试题更好地鼓励学生创新。 而二次函数是中考的必考重要内容，近年来，有关二次函数的创新题目百花齐放，令人目不暇接。 为帮助同学们熟悉新题型，迎接新挑战，特采撷部分中考题并加以浅析，供大家参考。 一、条件开放型 例 1： (青岛 )阅读下面的文字 ,解答问题 . 有这样一道题目 : “已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象过点 (0， a)， B(1,2),…… 求证：这个二次函数的图象关于直线 x=2对称”．题中的阴影部分是。