20xx届高三数学审题破解

20xx届高三数学审题破解内容摘要：

， ∴ S Ⅲ ＋ S Ⅱ ＝－12t an α －12(π － α ) ＋ 1 －π4 ＝－12t an α ＋α2＋ 1 －34π ， S Ⅳ ＋ S Ⅰ ＝π2－12t an α－12 α －π2 ＝－12t an α－12α ＋34π ， ∴ ( S Ⅱ ＋ S Ⅲ ) ′ ＝12－12c os2α＝c os2α － 12c os2α0 ， ( S Ⅰ ＋ S Ⅳ ) ′ ＝12sin2α－12＝1 － sin2α2sin2α0. 令 y ＝ S Ⅰ ＋ S Ⅳ － ( S Ⅱ ＋ S Ⅲ ) ＝－12t an α－12α ＋12tan α －α2＋32π － 1 ， 则 y ′ ＝1 － sin2α2sin2α－c os2α － 12c os2α＝1 －12sin22 α2sin2α c os2α0 ， ∴ y 在 x ∈π2， π 上为增函数． 又 α →π2时， y → － ∞ ； α → π 时， y → ＋ ∞ ， ∴ 存在唯一的 α ∈π2， π ，使 y ＝ 0 ， 即 S Ⅰ ＋ S Ⅳ ＝ S Ⅱ ＋ S Ⅲ . 答案 B 四审结构定方案 数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案． 例 4 ( 2020 江苏 ) 在锐角 △ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为a 、 b 、 c . 若ba＋ab＝ 6c os C ，则t an Ct an A＋t an Ct an B的值是 ________ ． 审题路线图 〈观察方向一〉 观察条件：ba＋ab＝ 6c os C ( 数式中既有边又有角，应统一 ) ba＋ab＝ 6 a2＋ b2－ c22 ab ( 将条件转化为简洁形式 ) a2＋ b2＝32c2 观察结论所求：t an Ct an A＋t an Ct an B ( 考虑到在 △ AB C 中的正、余弦定理，切化弦是必有之路 ) t an Ct an A＋t an Ct an B＝1c os Csin2Csin A si n B ( 角化边、用条件 ) t an Ct an A＋t an Ct an B＝1c os Csin2Csin A si n B＝2 aba2＋ b2－ c2c2ab＝ 4 〈观察方向二〉 观察条件ba＋ab＝ 6c os C ( 关注数式的特征 ) 边 a 、 b 具有轮换性 观察所求结论：t an Ct an A＋t an Ct an B 角 A 、 B 具有轮换性 ( 从数式的特征考虑 ) 当 A ＝ B 即 a ＝ b 时，应满足题意 ( 特殊化思想，可靠吗。 ) c os C ＝13 ( 完全转化成三角函数运算 ) tan2C2＝1 － c os C1 ＋ c os C＝12，即 tan C2＝22 tan C ＝2t an C21 － tan2C2＝ 2 2 tan A ＝ tan B ＝1tan C2＝ 2 tan Ctan A＋tan Ctan B＝ 4 解析 由ba＋ab＝ 6c os C ，得 b2＋ a2＝ 6 ab c os C . 化简整理得 2( a2＋ b2) ＝ 3 c2，将t an Ct an A＋t an Ct an B切化弦， 得sin Cc os C(c os Asin A＋c os Bsin B) ＝sin Cc os Csin ( A ＋ B )sin A si n B ＝sin Cc os Csin Csin A si n B＝sin2Cc os C sin A si n B. 根据正、余弦定理得sin2Cc os C sin A si n B＝c2ab a2＋ b2－ c22 ab ＝2 c2a2＋ b2－ c2 ＝2 c232c2－ c2＝ 4. 答案 4 点评 观察方向二从数式的特点出发，选择特殊化方法，这种解题方案往往会收到非常令人满意的效果． 变式训练 4 ( 1) 已知数列 { a n } 对于任意 p ， q ∈ N * ，有 a p ＋ a q＝ a p ＋ q ，若 a 1 ＝19 ，则 a 36 ＝ ________. 4 解析 从函数的角度来理解， a p ＋ a q ＝ a p ＋ q 可理解为 f ( p ) ＋ f ( q ) ＝ f ( p ＋ q ) ，你知道哪些函数具备这样的性质吗。 取特殊数列 a n ＝ kn ( k ≠ 0) ，又 a 1 ＝19， 则 k ＝19，即 a n ＝19n ，显然 a 36 ＝ 4. ( 2) 如图所示， △ A BC 中 G 为重心， PQ 过 G 点， AP→＝ m AB→， AQ→＝ n AC→，则1m＋1n＝ ___ ____ _. 解析 方法一 ∵ G 是 △ ABC 重心， ∴ AG→＝12( AQ→＋ AP→) ＝12( m AB→＋ n AC→) ＝12m AB→＋12n AC→， ∵ AG→＝23AD→＝2312( AB→＋ AC→) ＝13AB→＋13AC→， ∴12m ＝13， ∴ m ＝23，同理 n ＝23. ∴1m＋1n＝32＋32＝ 3. 方法二 从已知条件和所求的数式结构看，其数式结构特点明确，具有轮换性．因而可考虑用特例法切入．令 m ＝ n 即PQ ∥ BC 时， m ＝ n ＝23，故1m＋1n＝ 3. 答案 3 五审图表、数据找规律 题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法． 例 5 ( 201 1 山东 ) 等比数列 { an} 中， a1， a2， a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1， a2， a3中的任何两个数不在下表的同一列 . 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1) 求数列 { an} 的通项公式； ( 2) 若数列 { bn} 满足： bn＝ an＋ ( － 1)n。