高三数学立体几何的思考

高三数学立体几何的思考内容摘要：

m n d B C l m d O 面面角等于两平面的法向量所成的角或等于两平面的法向量所成角的补角 . 技巧 :先由直觉判断二面角为锐角还是为钝角然后取等角或补角与之相等 . ⑤ 向量法 : 借用公式 13 求二面角方法 : ② .应用三垂线（逆）定理法：在二面角 αlβ的面 α上取一点 A，作 AB⊥ β于 B， BC⊥ l于 C， 则∠ ACB即为 αlβ的平面角 . ③ .作垂面法 :作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角 . ④ .向量法 :利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角的关系求得 . ⑤ .cosθ = O A D C B H S1 S ① .定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角 . ⑥ .公式法 :l2=m2+n2+d2－ 2mncosθ. 14 ，求二面角问题的关键在于确定二面角的平面角； 体会到联想、类比及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用 . “角” 联想、类比 立几中的“二面角” 平面角 度量 定义法、三垂线法、 垂面法、射影法 找出（或作） 找出或作出二面角的平面角。 证明其符合定义。 计算，其格式为 :应 先定其位，后算其值 ， 其特点 :“夹议夹叙” . : 归纳小结 15 (Ⅰ )由于 α ⊥ β，且 AC⊥ l，则 AC⊥ β，建立如图所示空间直角坐标系 . 故直线 AB与 CD所成的角为 450. AC⊥ l于 C， BD⊥ l于 D， 则 AC=1， BD=1，AD= ， CD= 所以 A(0， 0， 1)， B(1， － ， 0)， C(0， 0， 0)， D(0， － ， 0)， 解法一 : 向量法 l β α D C B A x y z 如图，边长为 2的线段 AB夹在直二面角 αlβ的两个半平面内， A∈ α， B∈ β，且 AB与平面 α、 β所成的角都是 300 ， AC⊥ l垂足为 C， BD⊥ l，垂足为 D. (Ⅰ ) 直线 AB与 CD所成的角； 16 (Ⅰ )在平面 β内过点 B作BE∥ DC且 BE=DC，连结CE ， EA， 则四边形 BECD是矩形，所以 ∠ ABE就是直线 AB与 CD所成的角 . ∵ AB=2， α⊥ β， AC⊥ l， AC α， ∴ AC⊥ β. ∵ CE ⊥ BE， ∴ AE ⊥ BE， ∴ ∠ ABC=300 ,∴ AC=1,同理 BD=1,∴ CE=1, AE= ∴ ∠ ABE=450, 故直线 AB与 CD所成的角为 450. 在 Rt△ AEB中， sin ∠ ABE= 解法二： 平移法 解法三 :补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，其目的在于易于发现两条异面直线的关系 .l β α D C B A E 17 B 例 长方体 ABCDA1B1C1D1， AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线 A1C1与 BD1所成的角 . 解法一（平移法）： 如图，连 B1D1与A1C1 交于 O1，取 BB1的中点 M，连 O1M，则 O1MD1B， O1 M 于是 A1O1M就是异面直线 A1C1与 BD1所成的角（或其补角），连 A1M，在 A1O1M中 D B 1 A 1 D 1 C 1 A C 由。