高三数学函数的单调性与最值

高三数学函数的单调性与最值内容摘要：

x21)20， ∴ f ‘(x)0， ∴ 函数 f(x)在 (1,1)上为减函数． 239。 22( 1 )()( 1 )axfxx题型二 求函数的单调区间 【 例 2】 求函数 f(x)＝ x＋ 的单调区间． 1x分析：利用定义法或导数法． 解：方法一：首先确定定义域 {x|x≠0}，所以要在 (∞， 0)和 (0， +∞)两个区间上分别讨．任取x1， x2∈ (0， +∞)且 x1x2， 则 f(x2)f(x1)= 要确定此式的正负只要确定 1 的正负即可． 122 1 2 11 2 1 21= ( x x ) + = ( x x ) 1xxx x x x 121xx212111x xxx这样，又需要 判断大于 1，还是小于 xx2的任意性，考虑到要将 (0， +∞)分为 (0,1)与 (1，+∞)． (1)当 x x2∈ (0,1)时， 1 0， ∴ f(x2)f(x1)0， f(x)为减函数； (2)当 x x2∈ (1， +∞ )时， 1 0， ∴ f(x2)f(x1)0， f(x)为增函数； 同理可求 (3)当 x x2∈ (1,0)时， f(x)为减函数； (4)当 x x2∈ (∞， 1)时， f(x)为增函数． 121xx121xx121xx 方法二： f’(x)= ， 令 f’(x)0，得 x21，即 x1或 x1， 令 f′(x)0，得 x21，即 1x1， ∴ f(x)的单调增区间为 (1， +∞)和 (∞， 1)， 单调减区间为 (1,0)和 (0,1)． 211x解析： ∵ y＝－ x2＋ 2|x|＋ 3＝ x2＋ 2x＋ 3， x0， x2 2x＋ 3， x0， 即 y＝ (x1)2+4, x0， (x+1)2+4， x0， 如图． ∴ 单调递增区间是 (－ ∞ ，－ 1]和[0,1]，递减区间是 (－ 1,0)和 (1，＋∞ )． 求函数 y＝－ x2＋ 2|x|＋ 3的单调区间． 【 例 3】 函数 f(x)对任意的 a、 b∈ R，都有 f(a＋ b)＝ f(a)＋ f(b)－ 1，并且当 x0时， f(x)1. (1)求证： f(x)是 R上的增函数； (2)若 f(4)＝ 5，解不等式 f(3m2－ m－ 2)3. 题型三 单调性的应用 解： (1)证明：设 x1， x2∈ R，且 x1x2， 则 x=x2x10， ∴ f(x2x1)1， ∴ f(x2)f(x1)=f[(x2x1)+x1]f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1) =f(x2。