高一数学导数及其运算

高一数学导数及其运算内容摘要：

＋ 16 ＝ 0 即x － 22x ＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x ＝ 2 或 x ＝－ 4 代入 4 x － y－ 4 ＝ 0 ，求得 y ＝ 4 或 y ＝－ 20 . 即公共点为 (2,4)( 切点 ) 和 ( － 4 ，－20) ． ∴ 除切点外，还有一个交点 ( － 4 ，－ 20 ) ． 第 13讲 │ 要点探究 设质点作直线运动 ， 已知路程 s ( 单位 ： m ) 是时间 t ( 单位 ： s ) 的函数 ： s ＝ 3 t2＋ 2 t＋ 1. 求 ： ( 1 ) 从 t＝ 2 变到 t＝ 3 时 ， s 关于 t 的平均变化率 ， 并解释它的实际意义 ； ( 2 ) 当 t＝ 2 时的瞬时速度 ； ( 3 ) 当 t＝ 2 时的加速度 ． 第 13讲 │ 要点探究 [ 思路 ] (1) 利用概念求函数 f ( x ) 的平均变化率Δ yΔ x； (2) 瞬时速度为位移函数在某一时刻上的导数值； (3) 加速度为速度函数在某一时刻上的导数值． [ 解答 ] (1)Δ s ＝ s (3) － s (2) ＝ (3 32＋ 2 3 ＋ 1) － (3 22＋ 2 2 ＋ 1) ＝ 17 ，∴Δ sΔ t＝173 － 2＝ 17 ，表示从 t＝ 2 变到 t＝ 3 时， s 关于 t 的平均变化率为17 ，即此段时间质点的平均速度为 17 m/ s. (2) s ′( t ) ＝ 6 t＋ 2 ， ∴ s ′(2 ) ＝ 6 2 ＋ 2 ＝ 14(m /s) ．即当 t＝ 2 时的瞬时速度为 14 m/ s . (3) 设该质点的速度为 v m/ s ，则 v ( t ) ＝ s ′( t ) ＝ 6 t＋ 2 ， ∴ v ′( t ) ＝ 6 ， ∴ v ′(2) ＝ 6 ，即当 t＝ 2 时的加速度为 6 m/ s2. 第 13讲 │ 规律总结 规律总结 1．函数 f(x)的导数的实质是 “增量之比的极限 ”，即瞬时变化率，f′(x0)是函数 f(x)在导函数 f′(x)当 x＝ x0时的函数值． 2．函数 y＝ f(x)在点 x0处的导数的几何意义是指曲线 y＝ f(x)在点P(x0， f(x0))处的切线的斜率，即 f′(x0)＝ k切 ，此时切线方程为 y－ f(x0)＝ f′(x0)(x－ x0)． 3．准确理解曲线的切线，需要注意的两个问题 (1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个以上公共点； (2)曲线未必在其切线的同侧，如曲线 y＝ x3在其过 (0,0)点的切线 y＝ 0的两侧． 第 13讲 │ 规律总结 4．要区分 “过某点 ”的切线和 “在某点 ”的切线不同， “在某点 ”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率，而对于 “过某点 ”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程． 5．利用导数公式求导数时，先要根据基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．另外，还要避免求导过程中指数或系数的运算失误． 第 13讲 │ 导数及其运算 第 13讲 导数及其运算 知识梳理 第 13讲 │ 知识梳理 1 ．一般地，函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0处的瞬时变化率是 limΔ x →0 Δ yΔ x＝ __________________ ，我们称它为函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0处的导数，记作 ________________ ，即 f ′( x0) ＝ limΔ x →0 Δ yΔ x＝______________________. 2 ．当 x 变化时， f ′( x ) 是 x 的一个函数，我们称它为 f ( x ) 的________ ，简称 ______ ，有时也记作 y ′ ，即 f ′( x ) ＝ y ′ ＝________________. limΔ x →0 f ( x 0 ＋ Δ x )－ f ( x 0 )Δ x f′(x0)或 y′|x＝ x0 limΔ x →0 f ( x 0 ＋ Δ x ) － f ( x 0 )Δ x 导函数 导数 limΔ x →0 f ( x ＋ Δ x ) － f ( x )Δ x 第 13讲 │ 知识梳理 3．导数的几何意义 (1)设函数 y＝ f(x)在 x0处可导，则 f′(x0)表示曲线上相应点 M(x0， y0)处的 ____________，点 M处的切线方程为______________________． (2)设 s＝ s(t)是位移函数，则 s′(t0)表示物体在 t0时刻的____________． (3)设 v＝ v(t)是速度函数，则 v′(t0)表示物体在 t＝ t0时刻的 ________． 4．几种常见函数的导数 (1)C是常数，则 C′＝ ____； (2)(xn)′＝ ______(n∈ Q*)； 切线的斜率 y－ y0＝ f′(x0)(x－ x0) 瞬时速度 加速度 nx n － 1 0 第 13讲 │ 知识梳理 (3) (sin x )′ ＝ ______ ； (4) (cos x )′ ＝ ________ ； (5) (ln x )′ ＝ ______ ； (l o gax )′ ＝ ____ ____ ； (6) (ex)′ ＝ __ __ ； ( ax)′ ＝ ________. 5 ．求导法则 (1) ( u 177。 v )′ ＝ ________ ； (2) ( u v )′ ＝ ________ ； (3)uv′ ＝ __________. 6 ．复合函数的导数 设 y ＝ f ( u ) ， u ＝ g ( x ) 在对应点可导，则 yx′＝ yu′ ux′. cosx － sinx 1x 1x ln a ex axln a u′177。 v′ u′v＋ uv′ u ′ v － uv ′v2 要点探究 ► 探究点 1 导数的概念 第 13讲 │ 要点探究 例 1 函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处可导，用 f ′( x 0 ) 表示下列各。